Question

2．已知：一元二次方程$\frac{1}{2}$x²+kx+k-$\frac{1}{2}$=0．
（1）對于任意實數k，判斷方程的根的情況，并說明理由
（2）設k＜0，當二次函數y=$\frac{1}{2}$x²+kx+k-$\frac{1}{2}$的圖象與x軸的兩個交點A、B間的距離為4時，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根據函數與方程的關系，求出△的值，根據△的數值判定解的情況．
（2）根據二次函數圖象與x軸的兩個交點的距離公式解答即可．

解答 解：（1）方程總有兩個實數根；
∵△=k²-4×$\frac{1}{2}$×（k-$\frac{1}{2}$）=k²-2k+1=（k-1）²≥0，
∴關于x的一元二次方程$\frac{1}{2}$x²+kx+k-$\frac{1}{2}$=0．，不論k為何實數時，此方程總有兩個實數根；
（2）令y=0，則x²+2kx+2k-1=0．
∵x_A+x_B=-2k，x_A•x_B=2k-1，
∴|x_A-x_B|=$\sqrt{（{x}_{A}+{x}_{B}）^{2}-4{x}_{A}{x}_{B}}$=$\sqrt{4{k}^{2}-8k+4}$=2|k-1|=4，即|k-1|=2，
解得k=3（不合題意，舍去），或k=-1．
∴k=-1．

點評 本題主要考查了二次函數與方程的聯系，拋物線與x軸的交點坐標以及根的判別式的運用，靈活利用兩點之間的距離公式解決問題．