Question

1．如圖所示，已知AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E、F為垂足，DE=BF，試說明AE與CF相等．
某合作學習小組的兩名同學的解題過程如下：
學生甲：因為DE⊥AC，BF⊥AC，所以∠DEC=∠BFA=90°，在Rt△ABF與Rt△CDE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{DE=BF}\end{array}\right.$，所以Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），所以AE=FC（全等三角形的對應邊相等）．
學生乙：因為DE⊥AC，BF⊥AC，所以∠DEC=∠BFA=90°，在Rt△DEC和Rt△BFA中，$\left\{\begin{array}{l}{DC=BA}\\{DE=BF}\end{array}\right.$，所以Rt△DEC≌Rt△BFA（HL），所以EC=FA（全等三角形的對應邊相等），所以EC-EF=AF-EF，即CF=AE，請你分析以上兩種解答過程，判斷誰對誰錯，并指出錯誤的原因．

Answer 1

分析 認真審題可以發(fā)現(xiàn)，題目提供的條件是兩個三角形都是直角三角形，而且知道，這兩個直角三角形的一條直角邊和一條斜邊分別相等，所以可以根據(jù)“HL”定理判定這兩個直角三角形全等，然后得出EC=FA，據(jù)此對甲、乙兩個學生的解答思路進行分析即可．

解答 解：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEC=∠BFA=90°，
在Rt△DEC和Rt△BFA中，
$\left\{\begin{array}{l}{DC=BA}\\{DE=BF}\end{array}\right.$，
∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL），
∴EC=FA，
∴EC-EF=AF-EF，
即CF=AE，
由上可知，學生乙的解答過程正確，
學生甲的解答過程錯誤，
錯誤有兩個，
①在Rt△ABF與Rt△CDE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{DE=BF}\end{array}\right.$應改為$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{BF=DE}\end{array}\right.$，
②由Rt△ABF≌Rt△CDE得到的直接結(jié)果是：EC=FA．

點評 本題主要考查了直角三角形的判定定理，即：如果兩個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應相等，那么這兩個直角三角形全等，注意總結(jié)．