Question

13．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=7，CD=4，AD=2，在梯形中作一個矩形AEFG，使E在AB上，F(xiàn)在BC上，G在AD上．
（1）設(shè)EF=x，求△BEF的面積S；
（2）寫出（1）中x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）如圖，過點C作CM⊥AB于M，得到四邊形AMCD是矩形，求得CM=AD=2，得到BM=AB-AM=-4=3，通過△BEF∽△BMC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{BE}{EF}=\frac{BM}{CM}$=$\frac{3}{2}$，求得BE=$\frac{3}{2}$x，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；
（2）由于AD=2，EF＜AD，于是得到x的取值范圍是：0＜x＜2．

解答 解：（1）如圖，過點C作CM⊥AB于M，
∵AB∥DC，∠A=90°，
∴四邊形AMCD是矩形，
∴CM=AD=2，
∴AM=DC=4，
∴BM=AB-AM=-4=3，
∵EF∥CM，
∴△BEF∽△BMC，
∴$\frac{BE}{EF}=\frac{BM}{CM}$=$\frac{3}{2}$，
∴BE=$\frac{3}{2}$x，
∴△BEF的面積S=$\frac{1}{2}$BE•EF=$\frac{1}{2}•$$\frac{3}{2}$x•x=$\frac{3}{4}$x²；

（2）∵AD=2，EF＜AD，
∴x的取值范圍是：0＜x＜2．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角形面積的求法，正確的作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．