Question

14．如圖，等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，BE與⊙O相切于點(diǎn)B，AE⊥BE，⊙O的半徑為10，求AE的長．

Answer 1

分析 如圖所示：連接OA、OB，過點(diǎn)O作OD⊥AE，垂足為D，先證明四邊形OBED是正方形，從而得到ED=OB=6，∠BOD=90°，然后證明∠AOB=120°，從而得到∠DOA=30°于是得到DA=$\frac{1}{2}AO=3$．

解答 解：如圖所示：連接OA、OB，過點(diǎn)O作OD⊥AE，垂足為D．

∵BE是圓O的切線，
∴OB⊥BE．
又∵AE⊥BE，OD⊥AE，
∴四邊形OBED是矩形．
又∵OD=OB，
∴四邊形OBED是正方形．
∴ED=OB=6，∠BOD=90°．
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠C=60°．
∴∠AOB=120°．
∴∠DOA=30°．
∵在Rt△DAO中，∠DOA=30°，
∴DA=$\frac{1}{2}AO=3$．
∴AE=DE+DA=6+3=9．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是切線的性質(zhì)、正方形的判定、等邊三角形的性質(zhì)、圓周角定理，掌握本題的輔助線的作法是解題的關(guān)鍵．