Question

4．如圖，AB∥CD，BP和CP分別平分∠ABC和∠DCB，AD過點P，且AD⊥AB，求證：BC=AB+CD．

Answer 1

分析 在BC上取點F，使BF=BA，連接PF，由角平分線的性質可以得出∠ABP=∠FBP，從而可以得出△ABP≌△FBP，可以得出∠A=∠BFP，進而可以得出△CDP≌△CFP，就可以得出CD=CF，即可得出結論．

解答 解：在BC上取點F，使BF=BA，連接PF，

∵BP、CP分別是∠ABC和∠BCD的平分線，
∴∠ABP=∠FBP，∠DCP=∠FCP．
在△ABP和△FBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=FB}\\{∠ABP=∠FBP}\\{BP=BP}\end{array}\right.$
∴△ABP≌△FBP（SAS），
∴∠A=∠BFP．
∵AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°，
∴∠BFP+∠D=180．
∵∠BFP+∠CFP=180°，
∴∠CFP=∠D．
在△CDE和△CFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CFP=∠D}\\{∠FCP=∠DCP}\\{CP=CP}\end{array}\right.$，
∴△CDP≌△CFP（AAS），
∴CF=CD．
∵BC=BF+CF，
∴BC=AB+CD．

點評 本題考查了角平分線的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，解答時運用截取法正確作輔助線是關鍵．