Question

11．已知拋物線y=x²+（m+1）x-$\frac{1}{4}$m²-1（m為實(shí)數(shù)）．
（1）若該拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè)，求m的取值范圍；
（2）設(shè)A、B兩點(diǎn)分別是該拋物線與x軸、y軸的交點(diǎn)，且OA=OB（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），求m的值．

Answer 1

分析 （1）由拋物線的對稱軸x=-$\frac{2a}$＞0，即可得出結(jié)果；
（2）求出拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再由OA=OB，得出關(guān)于m的方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=x²+（m+1）x-$\frac{1}{4}$m²-1，
對稱軸x=-$\frac{2a}$=-（m+1）＞0，
∴m＜-1，
∴m＜-1；
（2）∵△=b²-4ac=（m+1）²+4×（$\frac{1}{4}$m²+1）=2m²+2m+5=2（m+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{2}$＞0，
∴拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)，如圖所示：
交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x₁，₂=$\frac{-b±\sqrt{△}}{2}$，
與y軸交點(diǎn)為（0，-$\frac{1}{4}$m²-1），
∴OB=$\frac{1}{4}$m²+1，
∵OA=OB，
∴|x₁，₂|=$\frac{1}{4}$m²+1，
把x=$\frac{1}{4}$m²+1代入得y=0，
即（$\frac{1}{4}$m²+1）²+（m+1）-$\frac{1}{4}$m²-1，
把x=$\frac{1}{4}$m²+1代入得y=0，
即（$\frac{1}{4}$m²+1）²+（m+1）（$\frac{1}{4}$m²+1）-$\frac{1}{4}$m²-1=0，
解得：m=-2；把x=-$\frac{1}{4}$m²-1代入得y=0，
即y=（-$\frac{1}{4}$m²-1）²+（m+1）（-$\frac{1}{4}$m²-1）-$\frac{1}{4}$m²-1=0，
解得：m=2±2$\sqrt{2}$；
綜上所述：m=-2，或m=2+2$\sqrt{2}$，或m=2-2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)的性質(zhì)、解方程等知識；解答此題不僅要熟悉拋物線的性質(zhì)，還要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，以便提高解題的效率．