Question

3．已知二次函數y=ax²+bx+c的圖象經過點（-2，4），（-1，0），（0，-2）
（1）求這個二次函數的表達式；
（2）求此二次函數的頂點坐標及與坐標軸的交點坐標，并根據這些點畫出函數大致圖象；
（3）若0＜y＜3，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經過（-2，4），（-1，0），（0，-2）三點，把三點代入函數的解析式，根據待定系數法求出函數的解析式；
（2）把求得的解析式化為頂點式，從而求出其對稱軸和頂點坐標；分別令x=0，y=0，得到方程，解方程從而求出拋物線與坐標軸的交點坐標；
（3）把y=3代入解析式求得橫坐標，從而求出x的取值范圍．

解答 解：（1）∵拋物線經過（-2，4），（-1，0），（0，-2）三點，則$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+c=4}\\{a-b+c=0}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-1}\\{c=-2}\end{array}\right.$
∴y=x²-x-2；

（2）∵y=x²-x-2=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$
∴對稱軸為直線x=$\frac{1}{2}$，頂點坐標為（$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{4}$）；
∵x=0，y=-2，
∴拋物線與y軸的交點坐標為（0，-2）
∵y=0，
∴x²-x-2=0，
∴x₁=2，x₂=-1，
∴拋物線與x軸的交點坐標為（2，0）、（-1，0）．
畫出函數圖象如圖：

（3）把y=3代入得，x²-x-2=3，解得x=$\frac{1±\sqrt{21}}{2}$
∴$\frac{1-\sqrt{21}}{2}$＜x＜-1 或 2＜x＜$\frac{1+\sqrt{21}}{2}$．

點評 本題考查了待定系數法求二次函數解析式，二次函數的性質，待定系數法求函數解析式是常用的方法，需熟練掌握并靈活運用，（2）整理成頂點式形式求解更簡便．