Question

13．如圖1，有若干張邊長為a的小正方形①、長為b寬為a的長方形②以及邊長為b的大正方形③的紙片．

（1）如果現(xiàn)有小正方形①1張，大正方形③2張，長方形②3張，請(qǐng)你將它們拼成一個(gè)大長方形 （在圖2虛線框中畫出圖形），并運(yùn)用面積之間的關(guān)系，將多項(xiàng)式a²+3ab+2b²分解因式．
（2）已知小正方形①與大正方形③的面積之和為169，長方形②的周長為34，求長方形②的面積．
（3）現(xiàn)有三種紙片各8張，從其中取出若干張紙片，每種紙片至少取一張，把取出的這些紙片拼成一個(gè)正方形（按原紙張進(jìn)行無空隙、無重疊拼接），求可以拼成多少種邊長不同的正方形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)小正方形①1張，大正方形③2張，長方形②3張，直接畫出圖形，利用圖形分解因式即可；
（2）由長方形②的周長為34，得出a+b=17，由題意可知：小正方形①與大正方形③的面積之和為a²+b^{2₌₁₆₉}，將a+b=17兩邊同時(shí)平方，可求得ab的值，從而可求得長方形②的面積；
（3）設(shè)正方形的邊長為（na+mb），其中（n、m為正整數(shù)）由完全平方公式可知：（na+mb）²=n²a²+2nmab+m²b²．因?yàn)楝F(xiàn)有三種紙片各8張，
n²≤8，m²≤8，2mn≤8（n、m為正整數(shù)）從而可知n≤2，m≤2，從而可得出答案．

解答 解：（1）如圖：

拼成邊為（a+2b）和（a+b）的長方形
∴a²+3ab+2b²=（a+2b）（a+b）；
（2）∵長方形②的周長為34，
∴a+b=17．
∵小正方形①與大正方形③的面積之和為169，
∴a²+b²=169．
將a+b=17兩邊同時(shí)平方得：（a+b）²=17²，整理得：a²+2ab+b²=289，
∴2ab=289-169，
∴ab=60．
∴長方形②的面積為60．
（3）設(shè)正方形的邊長為（na+mb），其中（n、m為正整數(shù)）
∴正方形的面積=（na+mb）²=n²a²+2nmab+m²b²．
∵現(xiàn)有三種紙片各8張，
∴n²≤8，m²≤8，2mn≤8（n、m為正整數(shù)）
∴n≤2，m≤2．
∴共有以下四種情況；
①n=1，m=1，正方形的邊長為a+b；
②n=1，m=2，正方形的邊長為a+2b；
③n=2，m=1，正方形的邊長為2a+b；
④n=2，m=2，正方形的邊長為2a+2b．

點(diǎn)評(píng) 此題考查因式分解的運(yùn)用，要注意結(jié)合圖形解決問題，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用完全平方公式．