Question

16．如圖，矩形ABCD中，O為AC中點，過點O的直線分別與AB、CD交于點E、F，連結(jié)BF交AC于點M，連結(jié)DE、BO．若∠COB=60°，F(xiàn)O=FC，則下列結(jié)論：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S_△AOE：S_△BCM=3：2．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（　　）

• A． 4個
• B． 3個
• C． 2個
• D． 1個

Answer 1

分析 ①利用線段垂直平分線的性質(zhì)的逆定理可得結(jié)論；
②在△EOB和△CMB中，對應直角邊不相等，則兩三角形不全等；
③可證明∠CDE=∠DFE；
④可通過面積轉(zhuǎn)化進行解答．

解答 解：①∵矩形ABCD中，O為AC中點，
∴OB=OC，
∵∠COB=60°，
∴△OBC是等邊三角形，
∴OB=BC，
∵FO=FC，
∴FB垂直平分OC，
故①正確；
②∵△BOC為等邊三角形，F(xiàn)O=FC，
∴BO⊥EF，BF⊥OC，
∴∠CMB=∠EOB=90°，
∴BO≠BM，
∴△EOB與△CMB不全等；
故②錯誤；
③易知△ADE≌△CBF，∠1=∠2=∠3=30°，
∴∠ADE=∠CBF=30°，∠BEO=60°，
∴∠CDE=60°，∠DFE=∠BEO=60°，
∴∠CDE=∠DFE，
∴DE=EF，
故③正確；
④易知△AOE≌△COF，
∴S_△AOE=S_△COF，
∵S_△COF=2S_△CMF，
∴S_△AOE：S_△BCM=2S_△CMF：S_△BCM=$\frac{2FM}{BM}$，
∵∠FCO=30°，
∴FM=$\frac{CM}{\sqrt{3}}$，BM=$\sqrt{3}$CM，
∴$\frac{FM}{BM}$=$\frac{1}{3}$，
∴S_△AOE：S_△BCM=2：3，
故④錯誤；
所以其中正確結(jié)論的個數(shù)為2個；
故選C．

點評 本題綜合性比較強，既考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，又考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，及線段垂直平分線的性質(zhì)，內(nèi)容雖多，但不復雜；看似一個選擇題，其實相當于四個證明題，屬于�？碱}型．