Question

14．如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，∠EDC=∠CAB，∠DEC=90°．
（1）求證：AC∥DE；
（2）過點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F，連接EF，試判斷四邊形ADEF的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）只要證明∠EDC=∠DCA即可解決問題；
（2）結(jié)論：四邊形ADEF是平行四邊形．只要證明CE∥BF，CE=BF即可；

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠DCA=∠CAB，
∵∠EDC=∠CAB，
∴∠EDC=∠DCA，
∴DE∥AC．

（2）解：結(jié)論：四邊形ADEF是平行四邊形．
理由：作DH⊥AC于H．
∵AC∥DE，∠DEC=90°，
∴∠DEC=∠ECF=∠DHC=90°，
∴四邊形DECH是矩形，
∴DH=EC，
在△ADH和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAH=∠FCB}\\{∠DHA=∠BFC=90°}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADH≌△BCF，
∴DH=BF=CE，
∵BF∥CE，
∴四邊形EFBC是平行四邊形．

點(diǎn)評 本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，矩形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．