Question

13．如圖，AB是⊙O的直徑，BC交⊙O于點(diǎn)D，E是$\widehat{BD}$的中點(diǎn)，連接AE交BC于點(diǎn)F，∠ACB=2∠EAB．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若cosC=$\frac{2}{3}$，AC=6，求BF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AD，如圖，根據(jù)圓周角定理，由E是$\widehat{BD}$的中點(diǎn)得到∠EAB=∠EAD，由于∠ACB=2∠EAB，則∠ACB=∠DAB，再利用圓周角定理得到∠ADB=90°，則∠DAC+∠ACB=90°，所以∠DAC+∠DAB=90°，于是根據(jù)切線的判定定理得到AC是⊙O的切線；
（2）作FH⊥AB于H，如圖，利用余弦定義，在Rt△ACD中可計(jì)算出CD=4，在Rt△ACB中可計(jì)算出BC=9，則BD=BC-CD=5，接著根據(jù)角平分線性質(zhì)得FD=FH，于是設(shè)BF=x，則DF=FH=5-x，然后利用平行線得性質(zhì)由FH∥AC得到∠HFB=∠C，所以cos∠BFH=cosC=$\frac{2}{3}$=$\frac{FH}{BF}$，再利用比例性質(zhì)可求出BF．

解答 （1）證明：連結(jié)AD，如圖，
∵E是$\widehat{BD}$的中點(diǎn)，
∴$\widehat{DE}$=$\widehat{BE}$，
∴∠EAB=∠EAD，
∵∠ACB=2∠EAB，
∴∠ACB=∠DAB，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAC+∠ACB=90°，
∴∠DAC+∠DAB=90°，即∠BAC=90°，
∴AC⊥AB，
∴AC是⊙O的切線；
（2）解：作FH⊥AB于H，如圖，
在Rt△ACD中，∵cosC=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{2}{3}$，
∴CD=$\frac{2}{3}$×6=4，
在Rt△ACB中，∵cosC=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{2}{3}$，
∴BC=$\frac{3}{2}$×6=9，
∴BD=BC-CD=9-4=5，
∵∠EAB=∠EAD，即AF平分∠BAD，
而FD⊥AD，F(xiàn)H⊥AB，
∴FD=FH，
設(shè)BF=x，則DF=FH=5-x，
∵FH∥AC，
∴∠HFB=∠C，
在Rt△BFH中，∵cos∠BFH=cosC=$\frac{2}{3}$=$\frac{FH}{BF}$，
∴$\frac{5-x}{x}$=$\frac{2}{3}$，解得x=3，
即BF的長(zhǎng)為3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．也考查了解直角三角形．