Question

12．請(qǐng)閱讀下面的材料，并回答所提出的問題．
三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理：三角形的內(nèi)角平分線分對(duì)邊所得的兩條線段和這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例．
已知：如圖1，△ABC中，AD是角平分線，求證：$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$
分析：要證$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$，一般只要證BD、DC與AB、AC或BD、AB與DC、AC所在的三角形相似．現(xiàn)在B、D、C在一直線上，△ABD與△ADC不相似，需要考慮用別的方法換比．
在比例式$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$中，AC恰是BD、DC、AB的第四比例項(xiàng)，所以考慮過C作CE∥AD，交BA的延長(zhǎng)線于E，從而得到BD、DC、AB的第四比例項(xiàng)AE，這樣，證明$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$就可以轉(zhuǎn)化為證AE=AC．
（1）證明：過C作CE∥DA，交BA的延長(zhǎng)線于E．（完成以下證明過程）
∴AE=AC（等腰三角形的判定定理）
∴△BAD∽△BEC，∴$\frac{BD}{BC}=\frac{AB}{BE}$（相似三角形的性質(zhì)）∴$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$
（2）用三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理解答問題：
已知：如圖2，△ABC中，AD是角平分線，AB=5cm，AC=4cm，BC=7cm．
求：BD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）對(duì)角平分線定理的證明：過C作CE∥DA，交BA的延長(zhǎng)線于E，則根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠1=∠E，∠2=∠3，加上∠1=∠2，則∠E=∠3，于是根據(jù)等腰三角形的判定定理得到AE=AC，再證明△BAD∽△BEC，根據(jù)相似的性質(zhì)得$\frac{BD}{BC}$=$\frac{BA}{BE}$，然后用比例得性質(zhì)易得$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$；
（2）根據(jù)角平分線定理得到$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$，即$\frac{BD}{7-BD}$=$\frac{5}{4}$，然后利用比例性質(zhì)求解．

解答 （1）證明：∵CE∥DA，
∴∠1=∠E，∠2=∠3，
∵AD是角平分線，
∴∠1=∠2，
∴∠E=∠3，
∴AE=AC，
∵CE∥AD，
∴△BAD∽△BEC，
∴$\frac{BD}{BC}$=$\frac{BA}{BE}$，
∴$\frac{BD}{BC-BD}$=$\frac{BA}{BE-BA}$，
∴$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$；
故答案為等腰三角形的判定定理；相似三角形的性質(zhì)；
（2）解：∵AD是角平分線，
∴$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$，即$\frac{BD}{7-BD}$=$\frac{5}{4}$，
∴BD=$\frac{35}{9}$（cm）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的綜合題：熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，會(huì)利用相似比計(jì)算幾何計(jì)算；本題證明了角平分線性質(zhì)定理和此定理的運(yùn)用．