Question

10．（1）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，RT△PBD的斜邊PB落在y軸上，tan∠BPD=$\frac{1}{2}$．延長(zhǎng)BD交x軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)D作
DA⊥x軸于A，OA=4，OB=3．
①求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
②若點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，求反比例函數(shù)的解析式．
（2）如圖2，四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于O，O是AC的中點(diǎn)，AE=CF，DF∥BE．
①求證：△BOE≌△DOF；
②若OD=$\frac{1}{2}$AC，判斷四邊形ABCD是什么特殊四邊形？并證明結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)正切值，可得PD的斜率，根據(jù)直線垂直，可得BD的斜率，可得直線BC，根據(jù)函數(shù)值為0，可得C點(diǎn)坐標(biāo)；
②根據(jù)自變量的值，可得D點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）①由DF與BE平行，得到兩對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，再由O為AC的中點(diǎn)，得到OA=OC，又AE=CF，得到OE=OF，利用AAS即可得證；
②若OD=$\frac{1}{2}$AC，則四邊形ABCD為矩形，理由為：由OD=$\frac{1}{2}$AC，得到OB=$\frac{1}{2}$AC，即OD=OA=OC=OB，利用對(duì)角線互相平分且相等的四邊形為矩形即可得證

解答 解：Rt△PBD的斜邊PB落在y軸上，
∴BD⊥PD，
k_PD=cot∠BPD=$\frac{1}{tan∠BPD}$，
k_BD•k_PD=-1，
k_BD=-$\frac{1}{2}$，
直線BD的解析式是y=-$\frac{1}{2}$x+3，
當(dāng)y=0時(shí)，-$\frac{1}{2}$x+3=0，
x=6，
C點(diǎn)坐標(biāo)是（6，0）；

②當(dāng)x=4時(shí)，y=-$\frac{1}{2}$×4+3=1，
∴D（4，1）．
點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的圖象上，
∴k=4×1=4，
∴反比例函數(shù)的解析式為 y=$\frac{4}{x}$．

（2）①證明：∵DF∥BE，
∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO，
∵O為AC的中點(diǎn)，
∴OA=OC，
∵AE=CF，
∴OA-AE=OC-CF，
即OE=OF，
在△BOE和△DOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FDO=∠EBO}\\{∠DFO=∠BEO}\\{OE=OF}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△DOF（AAS）；

②若OD=$\frac{1}{2}$AC，則四邊形ABCD是矩形，理由為：
證明：∵△BOE≌△DOF，
∴OB=OD，
∵OD=$\frac{1}{2}$AC，
∴OA=OB=OC=OD，且BD=AC，
∴四邊形ABCD為矩形；

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題及全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)，先求出PD的斜率求出BD的斜率，求出直線BD，再求出點(diǎn)的坐標(biāo)；熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．