Question

12．如圖，已知直線y=4-x與反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$（m＞0，x＞0）的圖象交于A，B兩點，與x軸，y軸分別相交于C，D兩點．
（1）如果點A的橫坐標為1，求反比例函數(shù)的解析式；
（2）在（1）條件下，求△AOB的面積；
（3）如果點P（1，0），是否存在以AB為直徑的圓經(jīng)過點P？若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由直線y=4-x過A點，把x=1代入y=4-x中得y=3，求得A（1，3），然后根據(jù)反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$（m＞0，x＞0）過A點，把A點的坐標代入即可；
（2）根據(jù)反比例函數(shù)的解析式求出點B的坐標，然后用△DOC的面積-△AOD的面積-△BOC的面積即可求解；
（3）點A、B在直線y=4-x上，則可設A（a，4-a），B（b，4-b）；以AB為直徑的圓經(jīng)過點P（1，0），則由圓周角定理得∠APB=90°，易證Rt△ADP∽Rt△PEB，列比例式求得a、b的關(guān)系式為：5（a+b）-2ab=17 ①；而點A、B又在雙曲線上，可推出a、b是一元二次方程x²-4x+m=0的兩個根，得a+b=4，ab=m，代入①式求出m的值．

解答 解：（1）∵直線y=4-x過A點，
∴把x=1代入y=4-x中得y=3，
∴A（1，3），
∵反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$（m＞0，x＞0）過A點，
∴3=m，
∴反比例函數(shù)的解析式：y=$\frac{3}{x}$；

（2）將y=4-x代入反比例函數(shù)解析式得：4-x=$\frac{3}{x}$，
解得：x₁=1，x₂=3，
則點B的坐標為（3，1），
∵點C坐標為（4，0），點D的坐標為（0，4），
∴S_△AOB=S_△COD-S_△AOD-S_△BOC=$\frac{1}{2}$×4×4-$\frac{1}{2}$×4×1-$\frac{1}{2}$×4×1=4，
即△AOB的面積為4；

（3）存在．
點A、B在直線y=4-x上，則可設A（a，4-a），B（b，4-b）．
如右圖所示，過點A作AD⊥x軸于點D，則AD=4-a，PD=1-a；
過點B作BE⊥x軸于點E，則BE=4-b，PE=b-1．
∵點P在以AB為直徑的圓上，
∴∠APB=90°（圓周角定理）．
易證Rt△ADP∽Rt△PEB，
∴$\frac{AD}{PE}$=$\frac{PD}{BE}$，即$\frac{4-a}{b-1}$=$\frac{1-a}{4-b}$，
整理得：5（a+b）-2ab=17①，
∵點A、B在雙曲線y=$\frac{m}{x}$上，
∴a（4-a）=m，b（4-b）=m，
∴a²-4a+m=0，b²-4b+m=0，
∴a、b是一元二次方程x²-4x+m=0的兩個根，
∴a+b=4，ab=m．
代入①式得：5×4-2m=17，
解得：m=$\frac{3}{2}$．
∴存在以AB為直徑的圓經(jīng)過點P（1，0），此時m=$\frac{3}{2}$．

點評 本題主要考查反比例函數(shù)的綜合題，涉及了根據(jù)函數(shù)的解析式求點的坐標以及待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，解答本題的關(guān)鍵是熟練反比例函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題（3）問的時候一定注意三點構(gòu)成圓的條件，此題難度較大．