Question

15．已知直線y=-$\frac{1}{2}$x+1與x軸、y軸分別交于B點、A點，直線y=2x-2與x軸、y軸分別交于D點、E點，兩條直線交于點C；
（1）求A、B、C、D、E的坐標(biāo)；
（2）請用相似三角形的相關(guān)知識證明：AB⊥DE；
（3）求△CBD的外接圓的半徑．

Answer 1

分析 （1）由兩直線的解析式可求得A、B、D、E的坐標(biāo)，再聯(lián)立兩直線解析式可求得C點坐標(biāo)；
（2）利用A、B、D、E的坐標(biāo)可求得OA、OB、OD、OE的長，則可證得△AOB∽△DOE，可求得∠OED=∠OBA，則可求得∠DCB=90°，可證得結(jié)論；
（3）由（2）的結(jié)論，結(jié)合圓周角定理可知BD即為△CBD的外接圓的直徑，由B、D的坐標(biāo)可求得BD的長，則可求得半徑．

解答 解：
（1）在y=-$\frac{1}{2}$x+1中，令x=0可得y=1，令y=0可求得x=2，
∴A（0，1），B（2，0），
在y=2x-2中，令x=0可得y=-2，令y=0可求得x=1，
∴D（1，0），E（0，-2），
聯(lián)立兩直線解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+1}\\{y=2x-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{6}{5}}\\{y=\frac{2}{5}}\end{array}\right.$，
∴C（$\frac{6}{5}$，$\frac{2}{5}$）；

（2）由（1）可知OA=1，OB=2，OD=1，OE=2，
∴$\frac{OA}{OD}$=$\frac{OB}{OE}$，且∠AOD=∠DOE，
∴△AOB∽△DOE，
∴∠DEO=∠ABO，且∠ODE=∠CDB，
∴∠DCB=∠DOE=90°，
∴AB⊥DE；
（3）由（2）可知∠DCB=90°，
∴BD為△CBD外接圓的直徑，
∵OB=2，OD=1，
∴BD=1，
∴△CBD外接圓的半徑為$\frac{1}{2}$．

點評 本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點、函數(shù)圖象的交點、相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理等知識．在（1）中注意函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點的求法，在（2）中求得∠DEO=∠ABO是解題的關(guān)鍵，在（3）中確定出BD為其外接圓的直徑是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．