Question

3．已知拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c（a＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（14，0）和C（0，-8），對(duì)稱(chēng)軸為x=4．
（1）求該拋物線(xiàn)的解析式；
（2）點(diǎn)D在線(xiàn)段AB上且AD=AC，若動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)沿線(xiàn)段AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一動(dòng)點(diǎn)N以某一速度從C出發(fā)沿線(xiàn)段CB勻速運(yùn)動(dòng)，問(wèn)是否存在某一時(shí)刻，使線(xiàn)段PN被直線(xiàn)CD垂直平分？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)的時(shí)間t（秒）和點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）在（2）的結(jié)論下，直線(xiàn)x=1上是否存在點(diǎn)M使△MPN為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c（a＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（14，0）和C（0，-8），對(duì)稱(chēng)軸為x=4，根據(jù)待定系數(shù)法可以求得該拋物線(xiàn)的解析式；
（2）假設(shè)存在，設(shè)出時(shí)間t，則根據(jù)線(xiàn)段PN被直線(xiàn)CD垂直平分，再由垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)及勾股定理來(lái)求解t，看t是否存在；
（3）假設(shè)直線(xiàn)x=1上是存在點(diǎn)M，使△MPN為等腰三角形，此時(shí)要分兩種情況討論：①當(dāng)PN為等腰△MPN的腰時(shí)，且P為頂點(diǎn)；②當(dāng)PN為等腰△MPN的腰時(shí)，且Q為頂點(diǎn)；然后再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及直角三角形的勾股定理求出M點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵拋物線(xiàn)過(guò)C（0，-8），
∴c=-8，即y=ax²+bx-8，
由函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（14，0）及對(duì)稱(chēng)軸為x=4可得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2a}=4}\\{196a+14b-8=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{21}}\\{b=-\frac{16}{21}}\end{array}\right.$，
∴該拋物線(xiàn)的解析式為y=$\frac{2}{21}$x²-$\frac{16}{21}$x-8．

（2）存在直線(xiàn)CD垂直平分PN．
由函數(shù)解析式為y=$\frac{2}{21}$x²-$\frac{16}{21}$x-8，可求出點(diǎn)A坐標(biāo)為（-6，0），
在Rt△AOC中，AC=$\sqrt{A{O}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{100}$=10=AD，
故可得OD=AD-OA=4，點(diǎn)D在函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸上，
∵線(xiàn)CD垂直平分PN，
∴∠PDC=∠NDC，PD=DN，
由AD=AC可得，∠PDC=∠ACD，
∴∠NDC=∠ACD，
∴DN∥AC，
又∵DB=AB-AD=20-10=10=AD，
∴點(diǎn)D是AB中點(diǎn)，
∴DN為△ABC的中位線(xiàn)，
∴DN=$\frac{1}{2}$AC=5，
∴AP=AD-PD=AD-DN=10-5=5，
∴t=5÷1=5（秒），
∴存在t=5（秒）時(shí)，線(xiàn)段PN被直線(xiàn)CD垂直平分．
在Rt△BOC中，BC=$\sqrt{O{C}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+1{4}^{2}}$=2$\sqrt{65}$，
而DN為△ABC的中位線(xiàn)，N是BC中點(diǎn)，
∴CN=$\sqrt{65}$，
∴點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度為每秒$\frac{\sqrt{65}}{5}$單位長(zhǎng)度；

（3）存在，過(guò)點(diǎn)N作NH⊥x軸于H，則NH=$\frac{1}{2}$OC=4，PH=OP+OH=1+7=8，
在Rt△PNH中，PN=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=$\sqrt{80}$=4$\sqrt{5}$，
①當(dāng)MP=MN，即M為頂點(diǎn)，則此時(shí)CD與PN的交點(diǎn)即是M點(diǎn)（上面已經(jīng)證明CD垂直平分PN），
設(shè)直線(xiàn)CD的直線(xiàn)方程為：y=kx+b（k≠0），
因?yàn)辄c(diǎn)C（0，-8），點(diǎn)D（4，0），
所以可得直線(xiàn)CD的解析式為：y=2x-8，
當(dāng)x=1時(shí)，y=-6，
∴M₁（1，-6）；
②當(dāng)PN為等腰△MPN的腰時(shí)，且P為頂點(diǎn)．
設(shè)直線(xiàn)x=1上存在點(diǎn)M（1，y），因?yàn)辄c(diǎn)P坐標(biāo)為（-1，0），
從而可得PM²=2²+y²，
又PN²=80，
則2²+y²=80，
即y=±2$\sqrt{19}$，
∴M₂（1，2$\sqrt{19}$），M₃（1，-2$\sqrt{19}$）；
③當(dāng)PN為等腰△MPN的腰時(shí)，且N為頂點(diǎn)，點(diǎn)N坐標(biāo)為（7，-4），
設(shè)直線(xiàn)x=1存在點(diǎn)M（1，y），
則NM²=6²+（y+4）²=80，
解得：y=2$\sqrt{11}$-4或-2$\sqrt{11}$-4；
∴M₄（1，-4+2$\sqrt{11}$），M₅（1，-4-2$\sqrt{11}$）．
綜上所述：存在這樣的五點(diǎn)：M₁（1，-6），M₂（1，2$\sqrt{19}$），M₃（1，-2$\sqrt{19}$），M₄（1，-4+2$\sqrt{11}$），M₅（1，-4-2$\sqrt{11}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題是一道綜合題，難度較大，主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，還考查等腰三角形的性質(zhì)，同時(shí)還讓學(xué)生探究存在性問(wèn)題，對(duì)待問(wèn)題要思考全面，學(xué)會(huì)分類(lèi)討論的思想．