Question

11．已知拋物線y=ax²+bx+c的頂點為（2，5），且與y軸交于點C（0，1）．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）若-1≤x≤3，試求y的取值范圍；
（3）若M（n²-4n+6，y₁）和N（-n²+n+$\frac{7}{4}$，y₂）是拋物線上的不重合的兩點，試判斷y₁與y₂的大小，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線的頂點式求二次函數(shù)的解析式；
（2）分別求出當(dāng)x=-1和x=3時對應(yīng)的y值，畫圖象得出y的取值；
（3）先將點M和N兩點的橫坐標(biāo)代入拋物線的解析式中求y₁和y₂，根據(jù)大于、等于、不于三種情況進(jìn)行判斷即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c的頂點為（2，5），
∴設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y=a（x-2）²+5，
把（0，1）代入得：a（0-2）²+5=1，
a=-1，
∴拋物線的表達(dá)式為：y=-（x-2）²+5=-x²+4x+1；
（2）畫圖象如圖1：
當(dāng)x=-1時，y=-4；
當(dāng)x=3時，y=4；
由圖象得：若-1≤x≤3，y的取值范圍是：-4≤y≤5；
（3）當(dāng)x=n²-4n+6時，y₁=-（n²-4n+6-2）²+5，
y₁=-（n-2）⁴+5，
當(dāng)x=-n²+n+$\frac{7}{4}$時，y₂=-（-n²+n+$\frac{7}{4}$-2）²+5，
y₂=-（n-$\frac{1}{2}$）⁴+5，
當(dāng)y₁＞y₂時，-（n-2）⁴+5＞-（n-$\frac{1}{2}$）⁴+5，
（n-2）²＜（n-$\frac{1}{2}$）²，
由（n-2）²=（n-$\frac{1}{2}$）²，解得：n=$\frac{5}{4}$，
如圖2，由圖象得：當(dāng)n＞$\frac{5}{4}$時，（n-2）²＜（n-$\frac{1}{2}$）²，
即y₁＞y₂；
同理得：當(dāng)n＜$\frac{5}{4}$時，（n-2）²＞（n-$\frac{1}{2}$）²，
即y₁＜y₂；
當(dāng)n=$\frac{5}{4}$時，n²-4n+6≠-n²+n+$\frac{7}{4}$，
（n-2）²=（n-$\frac{1}{2}$）²，
即y₁=y₂．

點評 本題考查了利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象，第二問注意利用數(shù)形結(jié)合的思想，當(dāng)-1≤x≤3時，y的最大值不是4，而是5；第三問有難度，注意利用二次函數(shù)的圖象解決問題．