Question

19．拋物線y=$\frac{1}{2}$x²-2x+m與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，把拋物線向下平移使之過原點(diǎn)后，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為M，求△OAM的面積．

Answer 1

分析 因?yàn)閽佄锞�y=$\frac{1}{2}$x²-2x+m與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以△=0，求出m=2，寫出解析式，向下平移2個(gè)單位后過原點(diǎn)，則平移后的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x²-2x，頂點(diǎn)坐標(biāo)M（2，-2），與x軸另一交點(diǎn)A（4，0），根據(jù)三角形面積公式求出△OAM的面積．

解答 解：△=（-2）²-4×$\frac{1}{2}$m=0，
m=2，
∴拋物線解析式為：y=$\frac{1}{2}$x²-2x+2，
與y軸交于點(diǎn)（0，2），
所以把拋物線向下平移使之過原點(diǎn)，則向下平移2個(gè)單位，
得拋物線的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x²-2x=$\frac{1}{2}$（x²-4x+4-4）=$\frac{1}{2}$（x-2）²-2，
∴頂點(diǎn)M（2，-2），
當(dāng)y=0時(shí)，$\frac{1}{2}$x²-2x=0，
x（x-4）=0，
x₁=0，x₂=4，
∴A（4，0），
過M作MN⊥x軸于N，
∴S_△OAM=$\frac{1}{2}$OA•MN=$\frac{1}{2}$×4×2=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)問題及幾何變換問題，明確拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)與△=b²-4ac的關(guān)系：①△=b²-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；②△=b²-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；③△=b²-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．還要知道拋物線過原點(diǎn)，則常數(shù)頂為0或經(jīng)過（0，0），平移前后的拋物線解析式二次項(xiàng)系數(shù)不變．