Question

7．【情境閱讀】
在圖1中，點(diǎn)A在邊OB上，點(diǎn)D在邊OC上，且AD∥BC﹒將這樣的圖形定義為“A型”﹒將△OAD繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)α°（0＜α＜90）得到新的圖形（如圖2），將圖2中的四邊形A′B′C′D′稱為“準(zhǔn)梯形”，A′D′稱為上底，B′C′稱為下底﹒
【新知學(xué)習(xí)】
（1）若情境閱讀中的△OBC是等腰直角三角形，OB=OC，∠BOC=90°，其余條件不變﹒
①請說明圖2中的△O′A′B′≌△O′D′C′﹒
②在圖1中，S_{四邊形ABCD}=S_△OBC-S_△OAD，請?zhí)剿鲌D2中的S_{四邊形A′B′C′D′}與圖1中的S_{四邊形ABCD}的大小關(guān)系﹒【變式探究】
（2）如圖3，四邊形ABCD是由有一個角是60°的“A型”通過旋轉(zhuǎn)變換得到的“準(zhǔn)梯形”，AD是上底，BC是下底，且AB=5，BC=8，CD=5，DA=2﹒求這個“準(zhǔn)梯形”的面積．
【遷移拓展】
（3）如圖4是由具有公共直角頂點(diǎn)的“A型”繞著直角定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)α°（0＜α＜90）得到的“準(zhǔn)梯形”，斜邊AD為上底，斜邊BC為下底，且AB=3，BC=4$\sqrt{5}$，CD=6，AD=3$\sqrt{5}$．求這個“準(zhǔn)梯形”的面積．

Answer 1

分析 （1）①首先根據(jù)AD∥BC，可得$\frac{OA}{OB}=\frac{OD}{OC}$，據(jù)此推得OA=OD，O′A′=O′D′；然后推得O′B′=O′C′，∠A′O′B′=∠D′O′C′=α°，根據(jù)全等三角形判定的方法，即可推得△O′A′B′≌△O′D′C′．
②首先根據(jù)△O′A′B′≌△O′D′C′，推得S_{△O′A′B′}=S_{△O′D′C′}；然后根據(jù)S_{四邊形A′B′C′D′}=S_{△O′B′C′}+S_{△O′D′C′}-S_{△O′A′B′}-S_{△O′A′D′}，推得S_{四邊形A′B′C′D′}=S_{四邊形ABCD}即可．
（2）首先連接OA、OB、OC、OD，構(gòu)造等邊三角形OBC和等邊三角形OAD；然后用等邊三角形OBC的面積減去等邊三角形OAD的面積，求出四邊形ABCD的面積即可．
（3）首先連接OA、OB、OC、OD，根據(jù)$\frac{OA}{OB}=\frac{OD}{OC}=\frac{AD}{BC}=\frac{3\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}=\frac{3}{4}$，判斷出OA=$\frac{3}{4}OB$，OD=$\frac{3}{4}$OC；然后用直角三角形OBC的面積減去直角三角形OAD的面積，求出四邊形ABCD的面積即可．

解答 （1）①證明：如圖2，

∵AD∥BC，
∴$\frac{OA}{OB}=\frac{OD}{OC}$，
∵OB=OC，
∴OA=OD，
∴O′A′=O′D′，
∵OB=OC，
∴O′B′=O′C′，
∠A′O′B′=∠D′O′C′=α°，
在△O′A′B′和△O′D′C′中，
$\left\{\begin{array}{l}{O′A′=O′D′}\\{∠A′O′B′=∠D′O′C′}\\{O′B′=O′C′}\end{array}\right.$，
∴△O′A′B′≌△O′D′C′﹒

②解：∵△O′A′B′≌△O′D′C′，
∴S_{△O′A′B′}=S_{△O′D′C′}，
∴S_{四邊形A′B′C′D′}=S_{△O′B′C′}+S_{△O′D′C′}-S_{△O′A′B′}-S_{△O′A′D′}
=（S_{△O′B′C′}-S_{△O′A′D′}）+（S_{△O′D′C′}-S_{△O′A′B′}）
=S_△OBC-S_△OAD
=S_{四邊形ABCD}
∴S_{四邊形A′B′C′D′}=S_{四邊形ABCD}．

（2）解：如圖3，連接OA、OB、OC、OD，
，
設(shè)OA=OD，OB=OC，
∵OA=OD，∠AOD=60°，
∴OA=OD=AD=2，
∵OB=OC，∠BOC=60°，
∴OB=OC=BC=8，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△OBC-S_OAD=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（8²-2²）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×60=15$\sqrt{3}$．

（3）解：如圖4，連接OA、OB、OC、OD，
，
∵$\frac{OA}{OB}=\frac{OD}{OC}=\frac{AD}{BC}=\frac{3\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}=\frac{3}{4}$，
∴OA=$\frac{3}{4}OB$，OD=$\frac{3}{4}$OC，
∵∠BOC=90°，BC=4$\sqrt{5}$，
∴令0B=4，OC=8，
則OA=$\frac{3}{4}OB$=$\frac{3}{4}×4=3$，OD=$\frac{3}{4}$OC=$\frac{3}{4}×8$=6，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△OBC-S_OAD=4×8÷2-3×6÷2=16-9=7．

點(diǎn)評 （1）此題主要考查了幾何變換綜合題，考查了分析推理能力，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，考查了空間想象能力的應(yīng)用，要熟練掌握．
（2）此題還考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①判定定理1：SSS--三條邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等．②判定定理2：SAS--兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等．③判定定理3：ASA--兩角及其夾邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等．④判定定理4：AAS--兩角及其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等．⑤判定定理5：HL--斜邊與直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等．
（3）此題還考查了相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，以及直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握．