Question

7．已知拋物線(xiàn)y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+4與x軸和y軸的正半軸分別交于點(diǎn)A和B，已知B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式．
（2）如圖，連接AB，M為AB的中點(diǎn)，∠PMQ在AB的同側(cè)以M為中心旋轉(zhuǎn)，且∠PMQ=45°，MP交y軸于點(diǎn)C，MQ交x軸于點(diǎn)D．設(shè)AD的長(zhǎng)為m（m＞0），BC的長(zhǎng)為n，求n和m之間的函數(shù)關(guān)系式．
（3）當(dāng)m，n為何值時(shí)，∠PMQ的邊過(guò)拋物線(xiàn)y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+4與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)E？

Answer 1

分析 （1）只需把點(diǎn)A（4，0）坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式，就可解決問(wèn)題；
（2）根據(jù)拋物線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而得到OA=OB=4，進(jìn)而得到AB=4$\sqrt{2}$，∠OAB=∠OBA=45°，結(jié)合∠PMQ=45°可證到△BCM∽△AMD，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)就可解決問(wèn)題；
（3）可分MP過(guò)點(diǎn)E和MQ過(guò)點(diǎn)E兩種情況討論：當(dāng)MP過(guò)點(diǎn)E時(shí)，可運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)MP的解析式，從而可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，就可求出OC，BC（即n），然后代入n與m的函數(shù)關(guān)系式就可求出m；當(dāng)MQ過(guò)點(diǎn)E時(shí)，即可得到AD（即AE，也即m），然后代入n與m的函數(shù)關(guān)系式就可求出n．

解答 解：（1）∵A（4，0）在拋物線(xiàn)y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+4上，
∴0=-8+4b+4，
解得b=1，
∴拋物線(xiàn)的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4；

（2）當(dāng)x=0時(shí)，y=4，
∴B（0，4），OB=4．
∵∠AOB=90°，OA=OB=4，
∴AB=4$\sqrt{2}$，∠OAB=∠OBA=45°．
∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，
∴BM=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{2}$．
∵∠AMC=∠AMD+∠CMD=∠BCM+∠CBM，∠CBM=∠CMD=45°，
∴∠BCM=∠AMD，
∴△BCM∽△AMD，
∴$\frac{BM}{AD}$=$\frac{BC}{AM}$，
∴BM²=BC•AD．
∵AD=m，BC=n，
∴8=mn，
∴n和m之間的函數(shù)關(guān)系式為n=$\frac{8}{m}$；

（3）當(dāng)y=0時(shí)，0=-$\frac{1}{2}$x²+x+4，
解得：x₁=-2，x₂=4，
∴E（-2，0）．
∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，A（4，0），B（0，4），
∴M（2，2）．
①若MP過(guò)點(diǎn)E，
設(shè)MP的解析式為y=px+q，
則有$\left\{\begin{array}{l}{2p+q=2}\\{-2p+q=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{p=\frac{1}{2}}\\{q=1}\end{array}\right.$，
∴MP的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+1．
當(dāng)x=0時(shí)，y=1，
∴C（0，1），OC=1，
∴n=BC=4-1=3，
∴m=$\frac{8}{3}$；
②若MQ過(guò)點(diǎn)E，
則點(diǎn)E與點(diǎn)D重合，
∴m=AD=AE=4-（-2）=6，
∴n=$\frac{8}{6}$=$\frac{4}{3}$．
綜上所述：當(dāng)m=$\frac{8}{3}$，n=3或m=6，n=$\frac{4}{3}$時(shí)，∠PMQ的邊過(guò)點(diǎn)E．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求拋物線(xiàn)和直線(xiàn)的解析式、拋物線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，證到△BCM∽△AMD是解決第（2）小題的關(guān)鍵，運(yùn)用分類(lèi)討論的思想是解決第（3）小題的關(guān)鍵．