Question

11．如圖：對(duì)稱軸x=-1的拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，0），且點(diǎn)（2，5）在拋物線y=ax²+bx+c上．
（1）求拋物線的解析式．
（2）點(diǎn)C為拋物線與y軸的交點(diǎn)．
①點(diǎn)P在拋物線上，且S_△POC=4S_△BOC，求點(diǎn)P點(diǎn)坐標(biāo)．
②設(shè)點(diǎn)Q是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，作QD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D，求線段QD長(zhǎng)度的最大值．

Answer 1

分析 （1）因?yàn)閽佄锞�的對(duì)稱軸為x=-1，A點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0）與（2，5）在拋物線上，代入拋物線的解析式，即可解答；
（2）①先由二次函數(shù)的解析式為y=x²+2x-3，得到C點(diǎn)坐標(biāo)，然后設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x²+2x-3），根據(jù)S_△POC=4S_△BOC列出關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，進(jìn)而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=-x-3，再設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x，-x-3），則D點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x²+2x-3），然后用含x的代數(shù)式表示QD，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出線段QD長(zhǎng)度的最大值．

解答 解：（1）因?yàn)閽佄锞�的對(duì)稱軸為x=-1，A點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0）與（2，5）在拋物線上，則：
$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+c=0}\\{4a+2b+c=5}\\{-\frac{2a}=-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\\{c=-3}\end{array}\right.$．
所以拋物線的解析式為：y=x²+2x-3．
（2）二次函數(shù)的解析式為y=x²+2x-3，
∴拋物線與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3），OC=3．
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x²+2x-3），
∵S_△POC=4S_△BOC，
∴$\frac{1}{2}$×3×|x|=4×$\frac{1}{2}$×3×1，
∴|x|=4，x=±4．當(dāng)x=4時(shí)，x²+2x-3=16+8-3=21；
當(dāng)x=-4時(shí)，x²+2x-3=16-8-3=5．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，21）或（-4，5）；
（3）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+t，將A（-3，0），C（0，-3）代入，
得$\left\{\begin{array}{l}{-3k+t=0}\\{t=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{t=-3}\end{array}\right.$．
即直線AC的解析式為y=-x-3．
設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x，-x-3）（-3≤x≤0），則D點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x²+2x-3），
QD=（-x-3）-（x²+2x-3）=-x²-3x=-$（x+\frac{3}{2}）^{2}+\frac{9}{4}$，
∴當(dāng)x=-$\frac{3}{2}$時(shí)，QD有最大值$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)以及三角形面積、線段長(zhǎng)度問題．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用方程思想與數(shù)形結(jié)合思想．