Question

9．如圖，數(shù)軸上A，B兩點對應的有理數(shù)分別為-10和20，點P從點O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿數(shù)軸正方向勻速運動，點Q同時從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸正方向勻速運動，設運動時間為t秒．
（1）分別求當t=2及t=12時，對應的線段PQ的長度；
（2）當PQ=5時，求所有符合條件的t的值，并求出此時點Q所對應的數(shù)；
（3）若點P一直沿數(shù)軸的正方向運動，點Q運動到點B時，立即改變運動方向，沿數(shù)軸的負方向運動，到達點A時，隨即停止運動，在點Q的整個運動過程中，是否存在合適的t值，使得PQ=8？若存在，求出所有符合條件的t值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）找出運動時間為t秒時，點P、Q對應的數(shù)，由此可用含t的代數(shù)式表示出PQ的長度，分別代入t=2、t=12即可得出結(jié)論；
（2）由（1）的結(jié)論結(jié)合PQ=5可得出關(guān)于t的含絕對值符號的一元一次方程，解之即可得出t值，再將t值代入點Q表示的數(shù)中即可得出結(jié)論；
（3）找出運動時間為t秒時，點P、Q對應的數(shù)，分0＜t≤15和15＜t≤30兩種情況找出關(guān)于t的含絕對值符號的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）當運動時間為t秒時，點P對應的數(shù)為t，點Q對應的數(shù)為2t-10，
∴PQ=|t-（2t-10）|=|t-10|．
當t=2時，PQ=|2-10|=8；
當t=12時，PQ=|12-10|=2．
答：當t=2時，線段PQ的長度為8；當t=12時，線段PQ的長度為2．
（2）根據(jù)題意得：|t-10|=5，
解得：t=5或t=15，
當t=5時，點Q對應的數(shù)為2t-10=0；
當t=15時，點Q對應的數(shù)為2t-10=20．
答：當PQ=5時，t的值為5或15，此時點Q所對應的數(shù)為0或20．
（3）當運動時間為t秒時，點P對應的數(shù)為t，點Q對應的數(shù)為$\left\{\begin{array}{l}{2t-10（0＜t≤15）}\\{20-2（t-15）（15＜t≤30）}\end{array}\right.$．
當0＜t≤15時，PQ=|t-（2t-10）|=|t-10|，|t-10|=8，
解得：t₁=2，t₂=18（舍去）；
當15＜t≤30時，PQ=|t-[20-2（t-15）]|=|3t-50|，|3t-50|=8，
解得：t₃=$\frac{58}{3}$，t₄=14（舍去）．
綜上所述：在點Q的整個運動過程中，存在合適的t值，使得PQ=8，此時t的值為2或$\frac{58}{3}$．

點評 本題考查了兩點間的距離、數(shù)軸以及一元一次方程的應用，解題的關(guān)鍵是：（1）用含t的代數(shù)式表示出PQ的長度；（2）由（1）的結(jié)論結(jié)合PQ=5找出關(guān)于t的含絕對值符號的一元一次方程；（3）分0＜t≤15和15＜t≤30兩種情況找出關(guān)于t的含絕對值符號的一元一次方程．