Question

7．如圖，PA是⊙O的切線，A是切點(diǎn)，B是圓上異于A的另一點(diǎn)，PB交⊙O于C，連接AB、AC．
（1）證明：PA²=PB•PC；
（2）若PB=4，C是PB的中點(diǎn)，圓的半徑為y，點(diǎn)P和圓上一點(diǎn)連線的最小距離為x，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）作直徑AE，連結(jié)CE，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得∠EAC+∠CAP=90°，再根據(jù)圓周角定理得∠ACE=90°，所以∠E+∠EAC=90°，則∠E=∠CAP，加上∠E=∠B，則∠CAP=∠B，于是可判斷△PAC∽△PBA，利用相似比和比例的性質(zhì)可得PA²=PB•PC；
（2）由（1）的結(jié)論可得PA²=4×2=8，作直線OP交⊙O于D、F，則PD=x，DF=2y，與（1）同樣方法可得到PA²=PD•PF，則x•（x+2y）=8，所以y=$\frac{8-{x}^{2}}{2x}$（0＜x≤2，當(dāng)BC為直徑時(shí)，x最大）．

解答 （1）證明：作直徑AE，連結(jié)CE，如圖，
∵PA是⊙O的切線，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°，即∠EAC+∠CAP=90°，
∵AE為直徑，
∴∠ACE=90°，
∴∠E+∠EAC=90°，
∴∠E=∠CAP，
∵∠E=∠B，
∴∠CAP=∠B，
而∠CPA=∠APB，
∴△PAC∽△PBA，
∴PA：PB=PC：PA，
∴PA²=PB•PC；
（2）解：∵PB=4，C是PB的中點(diǎn)，
∴PC=2，
∴PA²=4×2=8，
作直線OP交⊙O于D、F，則PD=x，DF=2y，
與（1）同樣方法可得到PA²=PD•PF，
∴x•（x+2y）=8，
∴y=$\frac{8-{x}^{2}}{2x}$（0＜x≤2，當(dāng)BC為直徑時(shí)，x最大）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．