Question

17．問題：已知△ABC中，∠ABC=∠ACB=α，點(diǎn)D是AB邊上任意一點(diǎn)，連結(jié)CD，在CD的上測(cè)作以CD為底邊，α為底角的等腰△CDE，連結(jié)AE，試探究BD與AE的數(shù)量關(guān)系．
（1）嘗試探究
如圖1，當(dāng)α=60°時(shí)，小聰同學(xué)猜想有BD=AE，以下是他的思路呈現(xiàn)．請(qǐng)你根據(jù)他的思路把這個(gè)證明過程完整地表達(dá)出來；

（2）特例再探
如圖2，當(dāng)α=45°時(shí)，請(qǐng)你判斷線段BD與AE之間的數(shù)量關(guān)系，并進(jìn)行證明；
（3）問題解決
如圖3，當(dāng)α為任意銳角時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段BD與AE的數(shù)量關(guān)系是BD=2cosα•AE．（用含α的式子表示，其中0°＜α＜90°）

Answer 1

分析 （1）當(dāng)α=60°時(shí)，△ABC、△DCE是等邊三角形，連接EC，EC=DC，AC=BC，∠BCD=60°-∠ACD，∠ACE=60°-∠ACD，可得：△BDC≌△CAE（SAS），答案可證．
（2）過點(diǎn)D作DF∥AC，交BC于F，可證得△DFB是等腰直角三角形，BD=DF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BF，再證明△ADE∽△FCD，得：$\frac{AE}{DF}$=$\frac{AD}{CF}$．由DF∥AC，得：$\frac{BD}{BF}$=$\frac{AD}{CF}$可得到$\frac{AE}{BD}$=$\frac{BD}{BF}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，繼而得到答案．
（3）由連結(jié)EC，可利用四點(diǎn)共圓證角相等，然后證△BDC∽△AEC相似可以確定BD=2cosα•AE．

解答 解：（1）BD=AE；∵∠BCA=60°，∠DCE=60°，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BDC與△AEC中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCD=∠ACE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△BDC≌△AEC，
∴BD=AE；

（2）BD=$\sqrt{2}$AE；理由如下：
過點(diǎn)D作DF∥AC，交BC于F．
∵DF∥AC，
∴∠ABC=∠DFB．
∵∠ABC=∠ACB=α，α=45°，
∴∠ABC=∠ACB=∠DFB=45°．
∴△DFB是等腰直角三角形
∴BD=DF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BF．
∵AE∥BC，
∴∠ABC+∠BAE=180°．
∵∠DFB+∠DFC=180°
∴∠BAE=∠DFC．
∵∠ABC+∠BCD=∠ADC，∠ABC=∠CDE=α，
∴∠ADE=∠BCD．
∴△ADE∽△FCD．
∴$\frac{AE}{DF}$=$\frac{AD}{CF}$．
∵DF∥AC，
∴$\frac{BD}{BF}$=$\frac{AD}{CF}$．
∴$\frac{AE}{BD}$=$\frac{BD}{BF}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴BD=$\sqrt{2}$AE．

（3）∵∠ABC=∠ACB=∠EDC=∠ECD=α，
∴∠BCD=∠ACE，
∵∠ADE+∠EDC=∠B+∠BCD，
∴∠ADE=∠ACE，
∴A、D、C、E四點(diǎn)共圓，
∴∠ADE=∠BCD=∠ACE，∠ABC=∠ACB=α，
∴△BDC∽△ACE，
∴$\frac{BD}{AE}$=$\frac{BC}{AC}$，
又∵$\frac{BC}{AC}$=cosα，
∴BD=2cosα•AE．
故答案為：BD=2cosα•AE．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)以及三角形相似的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，在解答本題時(shí)要注意類比思想的應(yīng)用，正確繪圖也是解題的關(guān)鍵．