Question

3．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E是正方形外一動點(diǎn)，∠AED=45°，P為AB的中點(diǎn)，當(dāng)E運(yùn)動時，線段PE的最大值為（　�。�

• A． 4$\sqrt{3}$
• B． 3$\sqrt{2}$
• C． 2+2$\sqrt{3}$
• D． 2+2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接PO，EO，根據(jù)A，C，E，D四點(diǎn)共圓，可得OE=OD=$\frac{1}{2}$BD=2$\sqrt{2}$，再根據(jù)PE≤OP+OE=2+2$\sqrt{2}$，可得當(dāng)點(diǎn)O在線段PE上時，PE=OP+OE=2+2$\sqrt{2}$，即線段PE的最大值為2+2$\sqrt{2}$．

解答 解：如圖，連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接PO，EO，
∵∠AED=45°，∠ACD=45°，
∴A，C，E，D四點(diǎn)共圓，
∵正方形ABCD的邊長為4，
∴OE=OD=$\frac{1}{2}$BD=2$\sqrt{2}$，
∵P為AB的中點(diǎn)，O是BD的中點(diǎn)，
∴OP=$\frac{1}{2}$AD=2，
∵PE≤OP+OE=2+2$\sqrt{2}$，
∴當(dāng)點(diǎn)O在線段PE上時，PE=OP+OE=2+2$\sqrt{2}$，
即線段PE的最大值為2+2$\sqrt{2}$，
故選：D．

點(diǎn)評 本題主要考查了正方形的性質(zhì)、四點(diǎn)共圓、圓周角定理等知識的綜合應(yīng)用；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明四點(diǎn)共圓是解決問題的關(guān)鍵．