Question

1．如圖，△ABC與△DEF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，AB=AC=$\sqrt{2}$．現(xiàn)將△DEF與△ABC按如圖所示的方式疊放在一起．現(xiàn)將△ABC保持不動(dòng)，△DEF運(yùn)動(dòng)，且滿足：點(diǎn)E在邊BC上運(yùn)動(dòng)（不與B、C重合），且邊DE始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，EF與AC交于M點(diǎn)．請(qǐng)問(wèn)：（1）BC=2；
（2）在△DEF運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△AEM能否構(gòu)成等腰三角形？若能，請(qǐng)求出BE的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可得結(jié)果；
（2）利用分類討論的思想：①若AE=AM 則∠AME=∠AEM=45°，∠AME=∠C=45°，由外角性質(zhì)可得此種情況不存在；②若AE=EM，則得△ABE≌△ECM，由全等三角形的性質(zhì)，易得CE=AB=$\sqrt{2}$，BC=2，易得BE；③若MA=ME，則∠MAE=∠AEM=45°，證得AE平分∠BAC，利用等腰三角形的“三線合一”，可得BE=$\frac{1}{2}BC$=1．

解答 解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=$\sqrt{2}$，
∴BC=$\sqrt{{AB}^{2}{+AC}^{2}}$=2，
故答案為：2；

（2）①若AE=AM 則∠AME=∠AEM=45°，
∵∠C=45°，
∴∠AME=∠C，
又∵∠AME＞∠C，
∴這種情況不成立；
②若AE=EM，
∵∠B=∠AEM=45°，
∴∠BAE+∠AEB=135°，∠MEC+∠AEB=135°，
∴∠BAE=∠MEC，
在△ABE和△ECM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠C}\\{∠BAE=∠CEM}\\{AE=EM}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ECM（AAS），
∴CE=AB=$\sqrt{2}$，
∵BC=2，
∴BE=2-$\sqrt{2}$；
③若MA=ME 則∠MAE=∠AEM=45°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAE=45°，
∴AE平分∠BAC，
∵AB=AC，
∴BE=$\frac{1}{2}BC$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，利用勾股定理，分類討論是解答此題的關(guān)鍵．