Question

10．如圖1，△ABC為等腰三角形，AB=AC=6，P點是底邊BC上的一個動點．PD∥AC，PE∥AB．
（1）求四邊形ADPE的周長；
（2）點P運動到什么位置時，四邊形ADPE是菱形，請說明理由；
（3）如果ABC不是等腰三角形（圖2）其他條件不變，點P運動到什么位置時，四邊形ADPE是菱形，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)證明∠B=∠DPB，∠C=∠EPC，進(jìn)而可得DB=DP，PE=EC，從而可得四邊形ADPE的周長=AD+DP+PE+AE=AB+AC；
（2）當(dāng)P運動到BC中點時，四邊形ADPE是菱形；首先證明四邊形ADPE是平行四邊形，再證明DP=PE即可得到四邊形ADPE是菱形；
（3）P運動到∠A的平分線上時，四邊形ADPE是菱形，首先證明四邊形ADPE是平行四邊形，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠1=∠3，從而可證出∠2=∠3，進(jìn)而可得AE=EP，然后可得四邊形ADPE是菱形．

解答 解：（1）∵PD∥AC，PE∥AB，
∴∠DPB=∠C，∠EPC=∠B，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B=∠DPB，∠C=∠EPC，
∴DB=DP，PE=EC，
∴四邊形ADPE的周長是：AD+DP+PE+AE=AB+AC=12；

（2）當(dāng)P運動到BC中點時，四邊形ADPE是菱形；
∵PD∥AC，PE∥AB，
∴四邊形ADPE是平行四邊形，
∴PD=AE，PE=AD，
∵PD∥AC，PE∥AB，
∴∠DPB=∠C，∠EPC=∠B，
∵P是BC中點，
∴PB=PC，
在△DBP和△EPC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠EPC}\\{BP=CP}\\{∠C=∠DPB}\end{array}\right.$，
∴△DBP≌△EPC（ASA），
∴DP=EC，
∵EC=PE，
∴DP=EP，
∴四邊形ADPE是菱形；

（3）P運動到∠A的平分線上時，四邊形ADPE是菱形，
∵PD∥AC，PE∥AB，
∴四邊形ADPE是平行四邊形，
∵AP平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∵AB∥EP，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴AE=EP，
∴四邊形ADPE是菱形．

點評 此題主要考查了菱形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．