Question

2．已知開口向下的拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于兩點(diǎn)A（x₁，0），B（x₂，0），其中x₁＜x₂，P為頂點(diǎn)，∠APB=90°，若x₁，x₂是方程x²-2（m-2）+m²-21=0的兩個(gè)根，且x₁²+x₂²=26．
（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=2（m-2），x₁•x₂=m²-21，再由x₁²+x₂²=26得（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=26，則4（m-2）²-2（m²-21）=26，解得m₁=m₂=4，所以一元二次方程為x²-4x-5=0，解得x₁=-1，x₂=5，于是可得到A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）作PH⊥x軸于H，如圖，利用拋物線的對(duì)稱性得△PAB為等腰三角形，而∠APB=90°，所以△PAB為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得PH=AH=BH=$\frac{1}{2}$AB=3，則OH=3-1=2，所以P（2，3），然后利用交點(diǎn)式求拋物線解析式．

解答 解：（1）∵x₁，x₂是方程x²-2（m-2）+m²-21=0的兩個(gè)根，
∴x₁+x₂=2（m-2），x₁•x₂=m²-21，
∵x₁²+x₂²=26，
∴（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=26，
∴4（m-2）²-2（m²-21）=26，
整理得m²-8m+16=0，解得m₁=m₂=4，
一元二次方程化為x²-4x-5=0，解得x₁=-1，x₂=5，
∴A（-1，0），B（5，0）；
（2）作PH⊥x軸于H，如圖，則△PAB為等腰三角形，
∵∠APB=90°，
∴△PAB為等腰直角三角形，
∴PH=AH=BH=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×（5+1）=3，
∴OH=3-1=2，
∴P（2，3），
設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-5），
把P（2，3）代入得a•3•（-3）=3，解得a=-$\frac{1}{3}$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{1}{3}$（x+1）（x-5），即y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+$\frac{5}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：從二次函數(shù)的交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常數(shù)，a≠0）可直接得到拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（x₁，0），（x₂，0）．也考查了根與系數(shù)的關(guān)系、待定系數(shù)法求拋物線解析式和等腰直角三角形的性質(zhì)．