Question

12．如圖甲，直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于點B、點C，經(jīng)過B、C兩點的拋物線y=x²+bx+c與x軸的另一個交點為A，頂點為P．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）在該拋物線的對稱軸上是否存在點M，使以C，P，M為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，請直接寫出所符合條件的點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）當(dāng)0＜x＜3時，在拋物線上求一點E，使△CBE的面積有最大值（圖乙、丙供畫圖探究）．

Answer 1

分析 （1）由直線解析式可求得B、C坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；
（2）由拋物線解析式可求得P點坐標(biāo)及對稱軸，可設(shè)出M點坐標(biāo)，表示出MC、MP和PC的長，分MC=MP、MC=PC和MP=PC三種情況，可分別得到關(guān)于M點坐標(biāo)的方程，可求得M點的坐標(biāo)；
（3）過E作EF⊥x軸，交直線BC于點F，交x軸于點D，可設(shè)出E點坐標(biāo)，表示出F點的坐標(biāo)，表示出EF的長，進一步可表示出△CBE的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其取得最大值時E點的坐標(biāo)．

解答 解：
（1）∵直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于點B、點C，
∴B（3，0），C（0，3），
把B、C坐標(biāo)代入拋物線解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{9+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=x²-4x+3；
（2）∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴拋物線對稱軸為x=2，P（2，-1），
設(shè)M（2，t），且C（0，3），
∴MC=$\sqrt{{2}^{2}+（t-3）^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}-6t+13}$，MP=|t+1|，PC=$\sqrt{{2}^{2}+（-1-3）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵△CPM為等腰三角形，
∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三種情況，
①當(dāng)MC=MP時，則有$\sqrt{{t}^{2}-6t+13}$=|t+1|，解得t=$\frac{3}{2}$，此時M（2，$\frac{3}{2}$）；
②當(dāng)MC=PC時，則有$\sqrt{{t}^{2}-6t+13}$=2$\sqrt{5}$，解得t=-1（與P點重合，舍去）或t=7，此時M（2，7）；
③當(dāng)MP=PC時，則有|t+1|=2$\sqrt{5}$，解得t=-1+2$\sqrt{5}$或t=-1-2$\sqrt{5}$，此時M（2，-1+2$\sqrt{5}$）或（2，-1-2$\sqrt{5}$）；
綜上可知存在滿足條件的點M，其坐標(biāo)為（2，$\frac{3}{2}$）或（2，7）或（2，-1+2$\sqrt{5}$）或（2，-1-2$\sqrt{5}$）；
（3）如圖，過E作EF⊥x軸，交BC于點F，交x軸于點D，

設(shè)E（x，x²-4x+3），則F（x，-x+3），
∵0＜x＜3，
∴EF=-x+3-（x²-4x+3）=-x²+3x，
∴S_△CBE=S_△EFC+S_△EFB=$\frac{1}{2}$EF•OD+$\frac{1}{2}$EF•BD=$\frac{1}{2}$EF•OB=$\frac{1}{2}$×3（-x²+3x）=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∴當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時，△CBE的面積最大，此時E點坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{4}$），
即當(dāng)E點坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{4}$）時，△CBE的面積最大．

點評 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的面積、二次函數(shù)的性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識．在（1）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，在（2）中設(shè)出M點的坐標(biāo)，利用等腰三角形的性質(zhì)得到關(guān)于M點坐標(biāo)的方程是解題的關(guān)鍵，在（3）中用E點坐標(biāo)表示出△CBE的面積是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．