Question

12．設(shè)角A為銳角，求證：1＜sinA+cosA≤$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)輔助角公式和正弦函數(shù)的圖象即可證得結(jié)論．

解答 證明：sinA+cosA=$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinA+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosA）=$\sqrt{2}$[cos$\frac{π}{4}$sinA+sin$\frac{π}{4}$cosA]=$\sqrt{2}$[sin（A+$\frac{π}{4}$）]，
∵0$＜A＜\frac{1}{2}π$，
∴$\frac{π}{4}＜A+\frac{π}{4}＜\frac{3}{4}π$，
根據(jù)正弦函數(shù)的圖象可知：$\frac{\sqrt{2}}{2}＜sin（A+\frac{π}{4}）≤$1，
∴1＜$\sqrt{2}$[sin（A+$\frac{1}{4}π$）]$≤\sqrt{2}$，
即：1＜sinA+cosA≤$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系，輔助角公式和正弦函數(shù)的圖象的性質(zhì)，利用輔助角公式將sinA+cosA轉(zhuǎn)化為$\sqrt{2}$[sin（A+$\frac{π}{4}$）]是解題的關(guān)鍵．