Question

18．如圖，在Rt△ABC中，BC=5cm，AC=12cm，以AB長為直徑作圓⊙O，作弦CD=AC，CE⊥DB的延長線于點(diǎn)E．
（1）求證：∠ABC=∠CAD；
（2）求證：CE是⊙O的切線．

Answer 1

分析 （1）利用CA=CD得到∠CDA=∠CAD，再根據(jù)圓周角定理得到∠CDA=∠ABC，所以∠ABC=∠CAD；
（2）連接OC，如圖，利用圓周角定理得到∠EBC=∠ABC，再證明∠EBC=∠OCB，則可判定OC∥DE，然后利用CE⊥BC得到CE⊥OC，則可根據(jù)切線的判定可得到CE是⊙O的切線．

解答 證明：（1）∵CA=CD，
∴∠CDA=∠CAD，
∵∠CDA=∠ABC，
∴∠ABC=∠CAD；

（2）連接OC，如圖，
∵∠EBC=∠CAD，∠ABC=∠CAD，
∴∠EBC=∠ABC，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠EBC=∠OCB，
∴OC∥DE，
∵CE⊥BC，
∴CE⊥OC，
∴CE是⊙O的切線．

點(diǎn)評 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，常連接過該公共點(diǎn)的半徑，證明該半徑垂直于這條直線．也考查了圓周角定理．