Question

1．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是DE上一點(diǎn)，∠CBF=∠CAF，作FG⊥BC于點(diǎn)G，求證：
（1）AF=FC；
（2）DE=DG．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的中位線定理得到ED∥CB，由平行線的性質(zhì)得到∠AED=90°然后通過三角形全等即可得到結(jié)論；
（2）由于∠AEF=∠CBF，∠AEF=∠FGB，證得△AEF∽△BGF，于是得到EF：FG=AE：BG，等量代換得到EF：FG=FG：（BC-EF）=＞FG²=BC•EF-EF²，由于 DF=DE-EF，DE=$\frac{1}{2}$BC，于是得到DF²=（$\frac{1}{2}$BC-EF）²=$\frac{1}{4}$BC²-BC•EF+EF²，通過化簡DG²=FG²+DF²=BC•EF-EF²+$\frac{1}{4}$BC²-BC•EF+EF²=$\frac{1}{4}$BC²，得到DG=$\frac{1}{2}$BC，就可得到DG=DE．

解答 證明：（1）∵D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，
∴AE：EC=AD：DB=1，
∴ED∥CB，
∵∠ACB=90°，
∴∠AED=90°，∴∠DEC=∠AED=90°，
又∵AE=EC，EF=EF，
在△FAE與△FCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CE}\\{∠AEF=∠CEF}\\{EF=EF}\end{array}\right.$，
∴△FAE≌△FCE，
∴AF=CF

（2）∵∠AEF=∠CBF，∠AEF=∠FGB，
∴△AEF∽△BGF，
∴EF：FG=AE：BG，
∵FG=EC=AE，BG=BC-CG=BC-EF，
∴EF：FG=FG：（BC-EF）=＞FG²=BC•EF-EF²，
∵DF=DE-EF，DE=$\frac{1}{2}$BC，
∴DF²=（$\frac{1}{2}$BC-EF）²=$\frac{1}{4}$BC²-BC•EF+EF²，
∴DG²=FG²+DF²=BC•EF-EF²+$\frac{1}{4}$BC²-BC•EF+EF²=$\frac{1}{4}$BC²，
∴DG=$\frac{1}{2}$BC，
∴DG=DE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，證得△AEF∽△BGF是解題的關(guān)鍵．