Question

17．已知：關(guān)于x的方程：x²-2（k+1）x+k²+4=0
（1）當(dāng)k取何值時，方程有兩個實數(shù)根？
（2）若△ABC是等腰三角形，BC=4，AB、AC的長是這個方程的兩個根，求△ABC的周長．

Answer 1

分析 （1）由方程有兩個實數(shù)根，可得出△=8k-12≥0，解之即可得出k的取值范圍；
（2）分BC為腰和BC為底兩種情況考慮，當(dāng)BC為腰時，將x=4代入原方程求出k值，將k值代入原方程求出方程的另一個根，利用三角形的三邊關(guān)系確定該三角形是否存在，再根據(jù)三角形的周長公式可求出△ABC的周長；當(dāng)BC為底時，由根的判別式△=8k-12=0可求出k值，將其代入原方程中求出方程的解，利用三角形的三邊關(guān)系確定該三角形是否存在，再根據(jù)三角形的周長公式可求出△ABC的周長．綜上即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵方程有兩個實數(shù)根，
∴△=[-2（k+1）]²-4（k²+4）=8k-12≥0，
∴k$≥\frac{3}{2}$；
（2）①當(dāng)BC為腰時，將x=4代入原方程得：16-8（k+1）+k²+4=0，
解得：k=2或k=6．
當(dāng)k=2時，原方程為x²-6x+8=（x-2）（x-4）=0，
解得：x₁=2，x₂=4．
∵2、4、4能組成三角形，
∴C_△ABC=2+4+4=10；
當(dāng)k=6時，原方程為x²-14x+40=（x-4）（x-10）=0，
解得：x₁=4，x₂=10．
∵4、4、10不能組成三角形，
∴k=6舍去；
②當(dāng)BC為底時，方程x²-2（k+1）x+k²+4=0有兩個相等的實數(shù)根，
∴△=[-2（k+1）]²-4（k²+4）=8k-12=0，
解得：k=$\frac{3}{2}$．
將k=$\frac{3}{2}$代入原方程得：x²-5x+$\frac{25}{4}$=（x-$\frac{5}{2}$）²=0，
解得：x₁=x₂=$\frac{5}{2}$．
∵$\frac{5}{2}$、$\frac{5}{2}$、4能組成三角形，
∴C_△ABC=$\frac{5}{2}$+$\frac{5}{2}$+4=9．
綜上所述：△ABC的周長為9或10．

點評 本題考查了根的判別式，三角形三邊關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的周長，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當(dāng)△≥0時，方程有兩個實數(shù)根”；（2）分BC為腰和BC為底兩種情況考慮．