Question

16．已知關于x的方程x²-2（m+1）x+m²-1=0有兩個不相等的實數(shù)根x₁，x₂．
（1）求實數(shù)m的取值范圍；
（2）當m取最小整數(shù)時，求2x₁²-2x₁+x₂²的值；
（3）若拋物線y=x²-2（m+1）x+m²-1與y軸的負半軸交于點C，與x軸交于點A，B，且∠ACB=90°，求m的值．

Answer 1

分析 （1）直接用一元二次方程根的判別式判斷即可；
（2）先借助（1）的結論得出m=0，代入方程再利用根與系數(shù)的關系即可；
（3）先求出點C的坐標和AB的中點坐標，即可得出CD，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可求出m．

解答 解：（1）依題意，有：△=4（m+1）²-4（m²-1）＞0，
即   2m+2＞0，
得   m＞-1．
（2）∵m＞-1，
∴m取最小整數(shù)為0．當m=0時，原方程變?yōu)?nbsp; x²-2x-1=0．
∵x₁是x²-2x-1=0的根，
∴x₁²-2x₁-1=0，即x₁²-2x₁=1．
又∵x₁，x₂是方程x²-2x-1=0的兩個根，
∴x₁+x₂=2，x₁x₂=-1．
∴2x₁²-2x₁+x₂²=x₁²-2x₁+x₁²+x₂²=1+x₁²+x₂²=1+（x₁+x₂）²-2 x₁x₂=1+4-2×（-1）=7．
（3）∵拋物線y=x²-2（m+1）x+m²-1與y軸的負半軸交于點C，
∴C（0，m²-1），
∵拋物線y=x²-2（m+1）x+m²-1，
∴AB的坐標為D（m+1，0），
∴CD=$\sqrt{（m+1）^{2}+（{m}^{2}-1）^{2}}$=（m+1）$\sqrt{{m}^{2}-2m+2}$
∵x²-2（m+1）x+m²-1=0，
∴x₁+x₂=2（m+1），x₁x₂=m²-1，
∴AB=|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=2$\sqrt{2m+2}$，
∵∠ACB=90°，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB，
∴（m+1）$\sqrt{{m}^{2}-2m+2}$=$\sqrt{2m+2}$，
∴m=0或m=1，
∵拋物線y=x²-2（m+1）x+m²-1與y軸的負半軸交于點C，
∴m²-1＜0，
∴-1＜m＜1，
∴m=0．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關系，靈活運用根與系數(shù)的關系是解本題的關鍵．