Question

11．如圖，△ABC中，M，N分別是BC，AC的中點，BH是AC邊上的高線，∠HMN=45°，MP垂直∠HMN的平分線并交AC于點P，若PH=$\frac{1}{2}$（AB+BC），求證：△ABC是等腰三角形．

Answer 1

分析 作輔助線，在Rt△BHC中，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線得：MH=$\frac{1}{2}$BC，由中位線定理得：MN=$\frac{1}{2}$AB，MN∥AB，根據(jù)PH=$\frac{1}{2}$（AB+BC）可得：PH=HK，則△PHK是等腰三角形，再證明△PMN≌△PMK（SAS），得∠CNM=∠K，設(shè)∠CHM=α，
分別表示出∠A和∠ABC的度數(shù)，發(fā)現(xiàn)都等于90°-$\frac{1}{2}$α，則∠A=∠ABC，所以△ABC是等腰三角形．

解答 證明：延長HM至點K，使得MN=MK，作∠NMH的交平分線交AC于點G，連接PK，
∵BH⊥AC，M是BC的中點，
∴MH=$\frac{1}{2}$BC，
∵M、N分別是BC、AC的中點，
∴MN=$\frac{1}{2}$AB，MN∥AB，
∵PH=$\frac{1}{2}$（AB+BC），
∴PH=$\frac{1}{2}$AB+$\frac{1}{2}$BC=MN+MH=MK+MH=KH，
∵MG平分∠NMH，∠NMH=45°，
∴∠3=∠4=22.5°，
∵PM⊥MG，
∴∠1=∠2=67.5°，
在△PMN和△PMK中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{MN=MK}\\{∠1=∠2}\\{PM=PM}\end{array}\right.$，
∴△PMN≌△PMK（SAS），
∴∠CNM=∠K，
設(shè)∠CHM=α，
∵HK=HP，
∴∠K=∠HPK=$\frac{180°-α}{2}$=90°-$\frac{1}{2}$α，
則∠CNM=∠K=90°-$\frac{α}{2}$，
∵MN∥AB，
∴∠A=∠CNM=90°-$\frac{1}{2}$α，
∴∠ABC=180°-∠C-∠A=180°-α-90°+$\frac{1}{2}$α=90°-$\frac{1}{2}$α，
∴∠A=∠ABC，
∴△ABC是等腰三角形．

點評 本題考查了三角形的中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)與判定及直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，比較復(fù)雜，難度較大，熟練掌握這此定理及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，本題從直角三角形斜邊中點為突破口，利用了直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得出邊相等，從而得出角的關(guān)系，設(shè)未知數(shù)，將所要求的∠A和∠ABC的度數(shù)表示出來，得出相等關(guān)系，利用等腰三角形的判定得出結(jié)論．