Question

18．如圖，在同一直角坐標系中，正比例函數(shù)的圖象可以看作是：將x軸所在的直線繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)α度（0＜α＜90）后的圖形，若它與反比例函數(shù)y=$\frac{4}{x}$的圖象分別交一、三象限的點B、D，已知點A（-m，0）、C（m，0）（m＞0）
（1）直接判斷：不論α取何值，四邊形ABCD的形狀一定是平行四邊形；
（2）當(dāng)點B的坐標為（p，1），四邊形ABCD是矩形時，求p和m的值；
（3）請根據(jù)m的取值情況，判斷矩形ABCD的個數(shù)．（直接寫出答案即可）

Answer 1

分析 （1）由于反比例函數(shù)的圖象是一個中心對稱圖形，點B、D是正比例函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點，所以點B與點D關(guān)于點O成中心對稱，則OB=OD，又OA=OC，根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可得出四邊形ABCD的形狀；
（2）把點B（p，1）代入y=$\frac{4}{x}$，即可求出p的值；過B作BE⊥x軸于E，在Rt△BOE中，根據(jù)勾股定理，得出OB的長度，然后根據(jù)進行的對角線相等得出OA=OB=OC=OD，從而求出m的值；
（3）當(dāng)m=$\sqrt{17}$時，設(shè)B（x，$\frac{4}{x}$）則x＞0，由OB=，得出x²+（$\frac{4}{x}$）²=（$\sqrt{17}$）²，解此方程，得出滿足條件的x的值有兩個，故能使四邊形ABCD為矩形的點B共有兩個．

解答 解：（1）∵點B、D是正比例函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點，
∴點B與點D關(guān)于點O成中心對稱，
∴OB=OD，
又∵OA=OC，
∴四邊形ABCD的形狀一定是平行四邊形；
故答案為：平行四邊形；

（2）把點B（p，1）代入y=$\frac{4}{x}$，解得：p=4，
過B作BE⊥x軸于E，則OE=1，EB=4，
∵在Rt△BOE中，∴OB=$\sqrt{17}$，
又∵點B、D是正比例函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點，
∴點B、D關(guān)于原點O成中心對稱，
∴OB=OD=$\sqrt{17}$，
∵四邊形ABCD為矩形，且A（-m，0），C（m，0）
∴OA=OB=OC=OD=$\sqrt{17}$
∴m=$\sqrt{17}$；

（3）當(dāng)m=$\sqrt{17}$時，設(shè)B（x，$\frac{4}{x}$）則x＞0，
∵OB=$\sqrt{17}$，
∴x²+（$\frac{4}{x}$）²=（$\sqrt{17}$）²，
解得：x=±1或±4，
∵x＞0，
∴x=1或4，則$\frac{4}{x}$=4或1，
故能使四邊形ABCD為矩形的點B共有2個．

點評 本題主要考查了平行四邊形的判定，矩形、反比例函數(shù)的性質(zhì)等知識，關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)的圖象是一個中心對稱圖形．