Question

4．如圖所示，拋物線y=ax²+bx-3與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖所示，直線BC下方的拋物線上有一點D，過點D作DE⊥BC于點E，作DF平行于x軸交直線BC于點F，求△DEF周長的最大值；
（3）已知點M是拋物線的頂點，點N是y軸上一點，點Q是坐標平面內一點，若點P是拋物線上一點，且位于拋物線的對稱軸右側，是否存在以P、M、N、Q為頂點且以PM為邊的正方形？若存在，直接寫出點P的橫坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）把A（-1，0），B（3，0）兩點坐標代入拋物線y=ax²+bx-3，利用待定系數(shù)法即可解決問題；
（2）如圖1中，連接PB、PC．設P（m，m²-2m-3），由題意△PEF是等腰直角三角形，PE最大時，△PEF的面積中點，此時△PBC的面積最大，則有S_△PBC=S_△POB+S_△POC-S_△BOC=$\frac{1}{2}$•3•（-m²+2m+3）+$\frac{1}{2}$•3•m-$\frac{9}{2}$=-$\frac{3}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，易知m=$\frac{3}{2}$時，△PBC的面積最大，此時△PEF的面積也最大，由此求出PF的長即可解決問題．
（3）①當N與C重合時，點N關于對稱軸的對稱點P，此時思想MNQP是正方形，易知P（2，-3）；②如圖3中，當四邊形PMQN是正方形時，作PF⊥y軸于N，ME∥x軸，PE∥y軸．易知△PFN≌△PEM，推出PF=PE，設P（m，m²-2m-3），M（1，-4），可得m=m²-2m-3-（-4），解方程即可解決問題；

解答 解：（1）把A（-1，0），B（3，0）兩點坐標代入拋物線y=ax²+bx-3，
得到$\left\{\begin{array}{l}{a-b-3=0}\\{9a+3b-3=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3．

（2）如圖1中，連接PB、PC．設P（m，m²-2m-3），

∵B（3，0），C（0，-3），
∴OB=OC，
∴∠OBC=45°，
∵PF∥OB，
∴∠PFE=∠OBC=45°，
∵PE⊥BC，
∴∠PEF=90°，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴PE最大時，△PEF的面積中點，此時△PBC的面積最大，
則有S_△PBC=S_△POB+S_△POC-S_△BOC=$\frac{1}{2}$•3•（-m²+2m+3）+$\frac{1}{2}$•3•m-$\frac{9}{2}$=-$\frac{3}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∴m=$\frac{3}{2}$時，△PBC的面積最大，此時△PEF的面積也最大，
此時P（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$），
∵直線BC的解析式為y=x-3，
∴F（-$\frac{3}{4}$，-$\frac{15}{4}$），
∴PF=$\frac{9}{4}$，
∵△PEF是等腰直角三角形，
∴EF=EP=$\frac{9\sqrt{2}}{8}$，
∴S_{△PEF最大值}=$\frac{1}{2}$•$\frac{9\sqrt{2}}{8}$•$\frac{9\sqrt{2}}{8}$=$\frac{81}{64}$．

（3）①如圖2中，

當N與C重合時，點N關于對稱軸的對稱點P，此時思想MNQP是正方形，易知P（2，-3）．點P橫坐標為2，
②如圖3中，當四邊形PMQN是正方形時，作PF⊥y軸于N，ME∥x軸，PE∥y軸．

易知△PFN≌△PEM，
∴PF=PE，設P（m，m²-2m-3），
∵M（1，-4），
∴m=m²-2m-3-（-4），
∴m=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$或$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$（舍棄），
∴P點橫坐標為$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$
所以滿足條件的點P的橫坐標為2或$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題考查二次函數(shù)的性質、一次函數(shù)、矩形的性質、對稱等知識，解題的關鍵是添加常用輔助線構造全等三角形，學會構建二次函數(shù)解決最值問題，屬于中考壓軸題．