Question

1．如圖，已知直線y=x+3與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，且與x軸交于另一點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P是拋物線上A，B兩點(diǎn)之間的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在什么位置時(shí)，四邊形PACB的面積最大，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及四邊形PACB面積的最大值；
（3）當(dāng)點(diǎn)P符合（2）的條件時(shí)，在拋物線的y軸上是否存在唯一的點(diǎn)M，使△PAM成為以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)的直角三角形，如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果不存在，那么將A，P兩點(diǎn)同時(shí)向左（或右）平移多少個(gè)長(zhǎng)度單位后，可以使點(diǎn)M符合上述條件，并求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自變量與函數(shù)值得對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得A，B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)平行于y軸的直線上兩點(diǎn)間的距離是交大的縱坐標(biāo)間較小的縱坐標(biāo)，可得PD，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得PD的最大值，根據(jù)面積的和差，可得答案；
（3）根據(jù)相似三角形性質(zhì)，可得關(guān)于x的方程，根據(jù)方程的解有相等的二實(shí)數(shù)根，可得n的值，根據(jù)解二元一次方程，可得答案．

解答 解：（1）在y=x+3中，當(dāng)x=0時(shí)，y=3，當(dāng)y=0時(shí)，x=-3，
∴點(diǎn)A（-3，0），B（0，3），
∵拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，得
$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{-9-3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式為y=-x²-2x+3；
（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸交AB于D點(diǎn)，
∵△ABC的面積是確定的，
∴當(dāng)△PAB的面積最大時(shí)，四邊形PACB的面積最大，而當(dāng)線段PD最長(zhǎng)時(shí)，△PAB的面積最大，
設(shè)P（m，-m²-2m+3），D（m，m+3），
PD=-m²-2m+3-（m+3）=-m²-3m=-（m+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴當(dāng)m=-$\frac{3}{2}$時(shí)，PD的最大值為$\frac{9}{4}$；當(dāng)m=-$\frac{3}{2}$時(shí)，-m²-2m+3=$\frac{15}{4}$，
∴P（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$），
當(dāng)y=0時(shí)，-x²-2x+3=0解得x₁=-3，x₂=1，
∴C（1，0），A（-3，0），
∴C=1-（-3）=4，
∴四邊形PACB面積的最大值為：$\frac{1}{2}$AC•OB+$\frac{1}{2}$PD•|x_A|=$\frac{1}{2}$×4×3+$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{4}$×3=6+$\frac{27}{8}$=$\frac{75}{8}$，
∴當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）時(shí)，四邊形PACB面積有最大值，且最大值為$\frac{75}{8}$；
（3）當(dāng)點(diǎn)A，點(diǎn)P在原來(lái)的位置時(shí)，不存在符合題意的點(diǎn)M，理由如下：
如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥y軸于F點(diǎn)，假設(shè)y軸上存在點(diǎn)M，使∠PMA=90°，
則△PFM∽△MOA，∴$\frac{PF}{MO}$=$\frac{FM}{OA}$，
設(shè)OM=x，F(xiàn)M=OF-OM=$\frac{15}{4}$-x，而PF=$\frac{3}{2}$，OA=3，
則$\frac{\frac{3}{2}}{x}$=$\frac{\frac{15}{4}-x}{3}$，化簡(jiǎn)得
4x²-15x+18=0，
∵△=b²-4ac=（-15）²-4×4×18=-63＜0，
該方程無(wú)實(shí)數(shù)解，
∴不存在點(diǎn)M，使△PAM成為以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)的直角三角形．
設(shè)將點(diǎn)A，P同時(shí)向右平移n個(gè)單位，使之符合題意，
①顯然，當(dāng)n=$\frac{3}{2}$時(shí)，點(diǎn)P落在y軸上，此時(shí)，M點(diǎn)與原點(diǎn)重合，即M₁（0，0）；
②當(dāng)n=3時(shí)，點(diǎn)A與原點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為M，此時(shí)M₂（0，$\frac{15}{4}$），
③點(diǎn)M在（0，0）和（0，$\frac{15}{4}$）之間時(shí)，設(shè)將點(diǎn)A，點(diǎn)P同時(shí)向右平移n個(gè)單位長(zhǎng)度后，點(diǎn)A，P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記作A₁和P₁，過(guò)點(diǎn)P₁作y軸的垂線P₁F，垂足為F，如圖3，
此時(shí)P₁F=$\frac{3}{2}$-n，A₁O=3-n，
△P₁FM∽△MOA₁，∴$\frac{{P}_{1}F}{MO}$=$\frac{FM}{O{A}_{1}}$則
$\frac{\frac{3}{2}-n}{x}$=$\frac{\frac{15}{4}-x}{3-n}$，化簡(jiǎn)，得
4x²-15x+（4n²-18n+18）=0，
由點(diǎn)M的唯一性，得方程有相等的二實(shí)根，
即△（-15）²-16（4n²-18n+18）=0，
解得n₁=$\frac{18+3\sqrt{29}}{8}$，n₂=$\frac{18-3\sqrt{29}}{8}$，
此時(shí)方程4x²-15x+（4n²-18n+18）=0的解為x₁=x₂=$\frac{15}{8}$，
此時(shí)M₃（0，$\frac{15}{8}$），
∴將點(diǎn)A，P同時(shí)向右平移一定長(zhǎng)度單位時(shí)，存在符合條件的點(diǎn)M，當(dāng)A，P同時(shí)向右平移$\frac{3}{2}$個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，點(diǎn)M₁（0，0），當(dāng)點(diǎn)A，P同時(shí)向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，M₂（0，$\frac{15}{4}$），當(dāng)點(diǎn)A，P同時(shí)向右平移$\frac{18±3\sqrt{29}}{8}$時(shí)，點(diǎn)M₃（0，$\frac{15}{8}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，解（1）的關(guān)鍵是待定系數(shù)法；解（2）的關(guān)鍵是利用平行于y軸的直線上兩點(diǎn)間的距離是交大的縱坐標(biāo)間較小的縱坐標(biāo)得出PD的最大值；解（3）的關(guān)鍵是利用相似三角形的性質(zhì)得出關(guān)于x的方程，又利用了根的判別式．