Question

9．如圖，已知在△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別在BC，AB，AC邊上．
（1）當點D，E，F(xiàn)分別為BC，AB，AC邊的中點時，求證：△BED≌△DFC；
（2）若DE∥AC，DF∥AB，且AE=2，BE=3，求$\frac{CF}{AF}$的值．

Answer 1

分析 （1）先證明DE和DF為△ABC的中位線得到DE∥AC，DF∥AB，利用平行線的性質(zhì)得∠BDE=∠C，∠B=∠CDF，然后根據(jù)相似三角形的判定方法可得△BED≌△DFC；
（2）由于DE∥AC，DF∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠BDE=∠C，∠B=∠CDF，根據(jù)平行四邊形的判定方法得到四邊形AEDF為平行四邊形，所以△BED≌△DFC，DF=AE=2，DE=AF，然后利用相似比和等線段代換即可得到$\frac{CF}{AF}$的值．

解答 （1）證明：∵點D，E，F(xiàn)分別為BC，AB，AC邊的中點，
∴DE和DF為△ABC的中位線，
∴DE∥AC，DF∥AB，
∴∠BDE=∠C，∠B=∠CDF，
∴△BED≌△DFC；
（2）解：DE∥AC，DF∥AB，
∴∠BDE=∠C，∠B=∠CDF，四邊形AEDF為平行四邊形，
∴△BED≌△DFC，DF=AE=2，DE=AF，
∴$\frac{DE}{CF}$=$\frac{BE}{DF}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{AF}{CF}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{CF}{AF}$=$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了平行線分線段成比例：平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例．也考查了三角形中位線性質(zhì)．