Question

4．已知：拋物線y=x²+（2m-1）x+m²-1經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而減�。�
（1）求拋物線的解析式；
（2）結(jié)合圖象寫出，0＜x＜4時(shí)，直接寫出y的取值范圍-$\frac{9}{4}$≤y＜4；
（3）設(shè)點(diǎn)A是該拋物線上位于x軸下方的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)A作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)D，再作AB⊥x軸于點(diǎn)B，DC⊥x軸于點(diǎn)C．當(dāng)BC=1時(shí)，求出矩形ABCD的周長．

Answer 1

分析 （1）把（0，0）代入拋物線解析式求出m的值，再根據(jù)增減性確定m的值即可．
（2）畫出函數(shù)圖象，求出函數(shù)最小值以及x=0或4是的y的值，由此即可判斷．
（3）由BC=1，B、C關(guān)于對稱軸對稱，推出B（，1，0），C（（2，0），由AB⊥x軸，DC⊥x軸，推出A（1，-2），D（2，-2），求出AB，即可解決問題．

解答 解：（1）∵y=x²+（2m-1）x+m²-1經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，
∴0=0+0+m²-1，即m²-1=0
解得m=±1．
又∵當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而減小，
∴m=-1，
∴二次函數(shù)解析式為y=x²-3x．

（2）如圖1中，

x=0時(shí)，y=0，
∵y=（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，
∴x=$\frac{3}{2}$時(shí)，y最小值為-$\frac{9}{4}$，
x=4時(shí)，y=4，
∴0＜x＜4時(shí)，-$\frac{9}{4}$≤y＜4．
故答案為-$\frac{9}{4}$≤y＜4．

（3）如圖2中，

∵BC=1，B、C關(guān)于對稱軸對稱，
∴B（，1，0），C（（2，0），
∵AB⊥x軸，DC⊥x軸，
∴A（1，-2），D（2，-2），
∴AB=DC=2，BC=AD=1，
∴四邊形ABCD的周長為6，
當(dāng)BC=1時(shí)，矩形的周長為6．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握配方法確定函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，學(xué)會根據(jù)拋物線的對稱性解決問題，屬于中考�？碱}型．