Question

3．如圖，拋物線y=ax²+bx+c的開口向下，與x軸和y軸分別交于點(diǎn)A（-4，0）和點(diǎn)B（0，2），過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AB交拋物線于點(diǎn)C，連接AC，且∠BAC=∠BAO．
（1）求BC的長(zhǎng)；
（2）求拋物線的解析式；
（3）拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得PA=PB？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理，可得AB的長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得答案；
（2）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離，可得兩個(gè)方程，根據(jù)解方程，可得C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（3）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得P在線段AB的垂直平分線上，根據(jù)線段垂直平分線的關(guān)系，可得AB的線段垂直平分線，根據(jù)解方程組，可得P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）在Rt△AOB中，由勾股定理，得
AB=$\sqrt{A{O}^{2}+O{B}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∵BC⊥AB，
∴∠ABC=∠AOB=90°，
∵∠CAB=∠BAO，
∴△CAB∽△BAO，
∴$\frac{BC}{BO}$=$\frac{AB}{AO}$，即$\frac{BC}{2}$=$\frac{2\sqrt{5}}{4}$，
BC=$\sqrt{5}$；
（2）設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），由勾股定理，
AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=5．
AC²=25，BC²=5，即$\left\{\begin{array}{l}{（m+4）^{2}+{n}^{2}=25}\\{{m}^{2}+（n-2）^{2}=5}\end{array}\right.$，
解得m=-1，m=1（舍），n=4，
即C點(diǎn)坐標(biāo)（-1，4）．
將A，B，C點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=4}\\{16a-4b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{5}{6}}\\{b=-\frac{17}{6}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式為y=-$\frac{5}{6}$x²-$\frac{17}{6}$x+2；
（3）AB的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+2，AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，1），
AB的垂直平分線為y=-2x+b，將（-2，1）代入，解得b=-3，
AB的垂直平分線為y=-2x-3，
聯(lián)立AB的垂直平分線與拋物線，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{5}{6}{x}^{2}-\frac{17}{6}x+2}\\{y=-2x-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{3}{2}}\\{{y}_{1}=-6}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-\frac{7}{2}}\\{{y}_{2}=4}\end{array}\right.$，
拋物線上存在點(diǎn)P，使得PA=PB，P點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，-6），（-$\frac{7}{2}$，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，解（1）的關(guān)鍵是利用相似三角形的判定與性質(zhì)；解（2）的關(guān)鍵是利用兩點(diǎn)間的距離求出C點(diǎn)坐標(biāo)，又利用了待定系數(shù)法；解（3）的關(guān)鍵是確定P是AB的垂直平分線與拋物線的交點(diǎn)，又利用了解方程組．