Question

20．已知拋物線y=ax²+bx+c（a＜0）與x軸交于點(diǎn)A（8，0）和B（-12，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，6）．
（1）求該拋物線的解析式：
（2）點(diǎn)D在線段AB上且AD=AC，若動(dòng)點(diǎn)M從A出發(fā)沿線段AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一動(dòng)點(diǎn)N以某一速度從B出發(fā)沿線段BC勻速運(yùn)動(dòng)，問(wèn)是否存在某一時(shí)刻t（秒），使線段MN被直線CD垂直平分？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)的時(shí)間t和點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）在第二象限的拋物線上取一點(diǎn)P，使得S_△PCA=S_△PCB，再在拋物線上找一點(diǎn)Q（不與點(diǎn)A、B、C重合），使得tan∠PBQ=$\frac{1}{2}$，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由拋物線y=ax²+bx+c（a＜0）與x軸交于點(diǎn)A（8，0）和B（-12，0），可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-8）（x+12），再把C的坐標(biāo)代入拋物線解析式，求出a的值即可；
（2）由AD=AC=10，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)是（-2，0），于是BD=AD．若CD垂直平分MN，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得出DN=DM，∠NDC=∠MDC=∠ACD，那么DN∥AC，BN=CN，DN是△ABC的中位線，根據(jù)三角形中位線定理得出DN=$\frac{AC}{2}$=5，所以AM=t=5，再求出BN=5V_N=3$\sqrt{5}$，根據(jù)速度=路程÷時(shí)間，計(jì)算即可求出N的運(yùn)動(dòng)速度；
（3）由S_△PCA=S_△PCB，根據(jù)三角形的面積公式可知A、B到PC的距離相等，于是PC∥AB，那么P（-4，6）．由tan∠PBQ=$\frac{1}{2}$=tan∠CBA，得出∠PBQ=∠CBA，于是∠PBC=∠QBA．作PG⊥BC于G，QH⊥AB于H，求出PG=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，CG=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，BG=$\frac{22\sqrt{5}}{5}$，則tan∠PBC=$\frac{PG}{BG}$=$\frac{2}{11}$，Q（x，-$\frac{1}{16}$x²-$\frac{1}{4}$x+6），由tan∠QBA=tan∠PBC列出方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c（a＜0）與x軸交于點(diǎn)A（8，0）和B（-12，0），
∴可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-8）（x+12），
又∵拋物線過(guò)點(diǎn)C（0，6），
∴6=-96a，解得a=-$\frac{1}{16}$，
∴y=-$\frac{1}{16}$（x-8）（x+12）=-$\frac{1}{16}$x²-$\frac{1}{4}$x+6，
即該拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{16}$x²-$\frac{1}{4}$x+6；

（2）∵A（8，0），C（0，6），
∴AC=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
∴AD=AC=10，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（-2，0），
∵B（-12，0），
∴BD=AD．
若CD垂直平分MN，則DN=DM，∠NDC=∠MDC=∠ACD，
∴DN∥AC，
∴BN=CN，
∴DN是△ABC的中位線，DN=$\frac{AC}{2}$=5，
∴AM=t=5，
而BN=5V_N=3$\sqrt{5}$，點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度是$\frac{3\sqrt{5}}{5}$；

（3）∵S_△PCA=S_△PCB，
∴A、B到PC的距離相等，
∴PC∥AB，
∴P、C關(guān)于拋物線y=-$\frac{1}{16}$x²-$\frac{1}{4}$x+6的對(duì)稱軸x=-2對(duì)稱，
∵C（0，6），
∴P（-4，6）．
∵tan∠PBQ=$\frac{1}{2}$，tan∠CBA=$\frac{OC}{OB}$=$\frac{6}{12}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠PBQ=∠CBA，
∴∠PBQ-∠CBQ=∠CBA-∠CBQ，即∠PBC=∠QBA．
作PG⊥BC于G，QH⊥AB于H．
∵PG=$\frac{PC•OC}{BC}$=$\frac{4×6}{6\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
CG=$\sqrt{P{C}^{2}-P{G}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{4\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
BG=BC-CG=6$\sqrt{5}$-$\frac{8\sqrt{5}}{5}$=$\frac{22\sqrt{5}}{5}$，
∴tan∠PBC=$\frac{PG}{BG}$=$\frac{\frac{4\sqrt{5}}{5}}{\frac{22\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{2}{11}$．
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，-$\frac{1}{16}$x²-$\frac{1}{4}$x+6），
∵tan∠QBA=tan∠PBC，
∴$\frac{-\frac{1}{16}{x}^{2}-\frac{1}{4}x+6}{x+12}$=$\frac{2}{11}$，
解得x=$\frac{56}{11}$或-12（舍去），
故點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（$\frac{56}{11}$，$\frac{376}{121}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，三角形的面積，銳角三角函數(shù)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握性質(zhì)定理以及求解析式的方法是解題的關(guān)鍵．