Question

5．如圖，A、B是⊙O上兩點(diǎn)，有下列四種尋找$\widehat{AB}$的中點(diǎn)C的方法：
①連接OA、OB，作∠AOB的角平分線交$\widehat{AB}$于點(diǎn)C；
②連接AB，作OH⊥AB于H，交$\widehat{AB}$于點(diǎn)C；
③在優(yōu)弧$\widehat{AmB}$上取一點(diǎn)D，作∠ADB的平分線交$\widehat{AB}$于點(diǎn)C；
④分別過(guò)A、B作⊙O的切線，兩切線交于點(diǎn)P，連接OP交$\widehat{AB}$于點(diǎn)C．
其中正確的有（　�。�

• A． 1種
• B． 2種
• C． 3種
• D． 4種

Answer 1

分析 根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系對(duì)①進(jìn)行判斷；根據(jù)垂徑定理對(duì)②進(jìn)行判斷；根據(jù)圓周角定理對(duì)③進(jìn)行判斷；如圖3，先根據(jù)切線長(zhǎng)定理和切線的性質(zhì)得OP平分∠APB，OA⊥AP，OB⊥PB，則利用等角的余角相等得到∠AOC=∠BOC，然后根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系可對(duì)④進(jìn)行判斷．

解答 解：作∠AOB的角平分線交$\widehat{AB}$于點(diǎn)C，如圖1，

則∠AOC=∠BOC，所以$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，所以①正確；
如圖1，∵OH⊥AB于H，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，所以②正確；
如圖2，∵∠ADC=∠BDC，

所以$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，所以③正確；
如圖3，

∵PA、PB為⊙O的切線，
∴OP平分∠APB，OA⊥AP，OB⊥PB，
∴∠AOC=∠BOC，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，所以④正確．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了垂徑定理和圓心角、弧、弦的關(guān)系．