Question

5．“8字”的性質及應用：
（1）如圖①，AD、BC相交于點O，得到一個“8字”ABCD，求證：∠A+∠B=∠C+∠D．
（2）圖②中共有多少個“8字”？
（3）如圖②，∠ABC和∠ADC的平分線相交于點E，利用（1）中的結論證明∠E=$\frac{1}{2}$（∠A+∠C）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形內角和定理和對頂角相等解答即可；
（2）根據(jù)題中給出的“8字”的概念解答即可；
（3）根據(jù)角平分線的定義和三角形的外角的性質解答即可．

解答 解：（1）∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180°，又∠AOB=∠COD，
∴∠A+∠B=∠C+∠D；
（2）圖②中有：ABCD、BECD、ABED，3個“8字”；
（3）∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABE=∠CBE=$\frac{1}{2}∠$ABC，∠CDE=∠ADE=$\frac{1}{2}$∠ADC，
∵∠A+∠ABE=∠E+∠ADE，∠C+∠CDE=∠E+∠CBE，
∴∠E=$\frac{1}{2}$（∠A+∠C）．

點評 本題考查的是三角形內角和定理、三角形外角的性質和對頂角相等的綜合運用，掌握三角形內角和等于180°和三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和是解題的關鍵．