Question

1．如圖，Rt△ABO在直角坐標(biāo)系中，AB⊥x軸于點(diǎn)B，AO=10，sin∠AOB=$\frac{3}{5}$．
（1）若反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過AO的中點(diǎn)C，求k的值；
（2）在（1）的條件下，若反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象與AB交于點(diǎn)D，當(dāng)點(diǎn)C，D位于直線l：y=-x+b的異側(cè)時(shí)，求b的取值范圍；
（3）若點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為E，當(dāng)反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象和線段AE有公共點(diǎn)時(shí)，直接寫出k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)A（8，6），點(diǎn)C是AO的中點(diǎn)，求得C（4，3），進(jìn)而得到k的值；
（2）先求得點(diǎn)C，D的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)C，D位于直線l：y=-x+b的異側(cè)，即可得到b的取值范圍；
（3）先根據(jù)過點(diǎn)E的反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{-12}{x}$，過點(diǎn)A的反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{48}{x}$，再根據(jù)反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象和線段AE有公共點(diǎn)，即可得到k的取值范圍．

解答 解：（1）∵AO=10，sin∠AOB=$\frac{3}{5}$，
∴AB=AOsin∠AOB=6，OB=8，即A（8，6），
∵點(diǎn)C是AO的中點(diǎn)，
∴C（4，3），
∵反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過AO的中點(diǎn)C，
∴k=4×3=12；

（2）把x=8代入反比例函數(shù)y=$\frac{12}{x}$，可得y=$\frac{3}{2}$，
∴D（8，$\frac{3}{2}$），
把D的坐標(biāo)代入直線y=-x+b，可得b=9$\frac{1}{2}$，
把C（4，3）代入直線y=-x+b，可得b=7，
∵點(diǎn)C，D位于直線l：y=-x+b的異側(cè)，
∴7＜b＜9$\frac{1}{2}$；

（3）∵點(diǎn)D（8，$\frac{3}{2}$）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為E（-8，$\frac{3}{2}$），
∴過點(diǎn)E的反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{-12}{x}$，
∵A（8，6），
∴過點(diǎn)A的反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{48}{x}$，
∵反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象和線段AE有公共點(diǎn)，
∴-12≤k＜0或0＜k≤48．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題以及解直角三角形的運(yùn)用，解題時(shí)注意：兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點(diǎn)，方程組無(wú)解，則兩者無(wú)交點(diǎn)．