Question

5．如圖所示，等邊△ABC中，AD⊥BC于D．點(diǎn)P是AB邊上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)P可以與點(diǎn)A重合，但不與點(diǎn)B重合），過點(diǎn)P作PE⊥BC，垂足為E，過E作EF⊥AC，垂足為F，
（1）如圖1，證明：PE+2EF=2AD；
（2）若AB=4，過F作FQ⊥AB，垂足為Q，PQ=1，求BP的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)△ABC的邊長(zhǎng)為a，BE=x，則CE=a-x，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠B=∠C=60°，解直角三角形得到AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，PE=$\sqrt{3}$x，EF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（a-x），求得PE+2EF=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$（a-x）=$\sqrt{3}$a，2AD=$\sqrt{3}$a，即可得到結(jié)論．
（2）設(shè)PB=x，解直角三角形求得CF=$\frac{1}{2}$CE=2-$\frac{1}{4}$x，AF=4-CF=2+$\frac{1}{4}$xAQ=$\frac{1}{2}$AF=1+$\frac{1}{8}$x，列方程x+1+1+$\frac{1}{8}$x=4，解得x=$\frac{16}{9}$，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)△ABC的邊長(zhǎng)為a，BE=x，則CE=a-x，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∴AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∵PE⊥BC，
∴PE=$\sqrt{3}$x，
∵EF⊥AC，
∴∠EFC=90°，
∴EF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（a-x），
∴PE+2EF=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$（a-x）=$\sqrt{3}$a，
2AD=$\sqrt{3}$a，
∴PE+2EF=2AD；

（2）過F作FQ⊥AB于Q，設(shè)PB=x，
∵PE⊥BC，∠B=60°，
∴BE=$\frac{1}{2}$x，CE=4-$\frac{1}{2}$x，
∵EF⊥AC，∠C=60°，
∴CF=$\frac{1}{2}$CE=2-$\frac{1}{4}$x，
∴AF=4-CF=2+$\frac{1}{4}$x，
∵∠BAC=60°，F(xiàn)Q⊥AB，
∴AQ=$\frac{1}{2}$AF=1+$\frac{1}{8}$x，
∴x+1+1+$\frac{1}{8}$x=4，
∴x=$\frac{16}{9}$，
∴PB=$\frac{16}{9}$，
如圖2，過E作GE⊥AB于G，∴EG+EF=AD，2EG=PE，∴$\frac{1}{2}$PE+EF=AD，即，PE+2EF=2AB，∴PB=$\frac{32}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，熟記等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．