Question

10．如圖，MN切⊙O的弦于P，AB是⊙O的弦，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，PQ⊥AB于Q，求證：PQ²=AM•BN．

Answer 1

分析 連接AP，BP，根據(jù)垂直的定義得到∠AMP=∠PQB=90°，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{PQ}{AM}$=$\frac{BN}{PQ}$，同理可得：$\frac{PB}{PA}$=$\frac{BN}{PQ}$，等量代換得到$\frac{PQ}{AM}=\frac{BN}{PQ}$，于是得到結(jié)論．

解答 證明：連接AP，BP，
∵AM⊥MN于M，PQ⊥AB于Q．
∴∠AMP=∠PQB=90°，
∵∠1=∠2，
∴△PAM∽△BPQ，
∴$\frac{PQ}{AM}$=$\frac{BN}{PQ}$，
同理可得：$\frac{PB}{PA}$=$\frac{BN}{PQ}$，
∴$\frac{PQ}{AM}=\frac{BN}{PQ}$，
∴PQ²=AM•BN．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了和圓有關(guān)的比例線段的證明題，可由所要證的比例式找到相似三角形；當(dāng)要證明的比例式不能直接應(yīng)用有關(guān)定理和相似三角形來證明時(shí)，可以考慮等量代換．等量代換通常有等線段代換、等比代換等．