Question

20．如圖，等邊△ABC中，AB=8cm，動點P以2cm/s的速度從點A開始，沿邊AC、CB的方向勻速運動至點B停止，PQ⊥AB于點Q，則運動過程中△APQ的面積y（cm²）關(guān)于點P的運動時間x（s）的函數(shù)圖象大致是（　�。�

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 分為兩種情況，P在A上和P在BC上，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出∠A=∠B=60°，解直角三角形求出AQ、PQ，根據(jù)面積公式求出面積y，根據(jù)函數(shù)的解析式得出即可．

解答 解：
分為兩種情況：①當P在AC上時，如圖1，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=60°，
∵PQ⊥AB，
∴∠PQA=90°，
∴∠APQ=30°，
∵AP=2x，
∴AQ=x，PQ=$\sqrt{3}$x，
∴y=$\frac{1}{2}×AQ×PQ$=$\frac{1}{2}•x•\sqrt{3}x$=$\frac{1}{2}\sqrt{3}$x²，
此時函數(shù)的圖象是頂點在原點上，開口向上的拋物線，∴選項A、D錯誤；
②當P在BC上時，

此時AC+CP=2x，
BP=8+8-2x=16-2x，
∠B=60°，
BQ=$\frac{1}{2}$BP=8-x，PQ=$\sqrt{3}$BQ=$\sqrt{3}$（8-x），
所以y=$\frac{1}{2}$AQ×PQ=$\frac{1}{2}$×[8-（8-x）]×$\sqrt{3}$（8-x）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-4）²+8$\sqrt{3}$，
所以此時函數(shù)的圖象的頂點坐標是（4，8$\sqrt{3}$），開口方向向下的拋物線，∴選項C正確，選項B錯誤；
故選C．

點評 本題考查了動點問題的函數(shù)圖象問題、函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識點，能求出符合的函數(shù)的解析式是解此題的關(guān)鍵．