Question

10．如圖，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)C，過點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，D是⊙O上于點(diǎn)，且$\widehat{\widehat{BC}}$=$\widehat{CD}$，弦AD的延長(zhǎng)線交切線PC于點(diǎn)E，連接AC．
（1）求∠E的度數(shù)；
（2）若⊙O的直徑為5，sinP=$\frac{3}{5}$，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OC．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OAC=∠OCA．∠OAC=∠CAD．推出OC∥AE．根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠E=∠OCP．根據(jù)切線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）解直角三角形即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）連接OC．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∵BC=CD，
∴∠OAC=∠CAD．
∴∠OCA=∠CAD，
∴OC∥AE．
∴∠E=∠OCP．
∵PE是的切線，C為切點(diǎn)，
∴∠OCP=90°．
∴∠E=90°；

（2）在Rt△ABD中，OC=2.5，sin∠P=$\frac{OC}{OP}$=$\frac{3}{5}$，
∴OP=$\frac{25}{6}$，
在Rt△APE中，AP=$\frac{25}{6}$+2.5=$\frac{20}{3}$，sin∠P=$\frac{AE}{AP}$=$\frac{3}{5}$，
∴AE=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．