Question

13．同學(xué)們都知道，|4-（-2）|表示4與-2的差的絕對值，實際上也可理解為4與-2兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點之間的距離；同理|x-3|也可理解為x與3兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點之間的距離．試探索：
（1）|4-（-2）|=6；
（2）找出所有符合條件的整數(shù)x，使|x-4|+|x+2|=8成立；
（3）由以上探索猜想，對于任何有理數(shù)x，|x-3|+|x-6|是否有最小值？如果有，寫出最小值；如果沒有，說明理由．

Answer 1

分析 （1）可先算出4與-2的差，然后再求出差的絕對值即可；
（2）設(shè)-2、4、x在數(shù)軸上所對應(yīng)的點分別為A、B、X，則有|x-4|+|x+2|=BX+AX=8，AB=|4-（-2）|=6．然后分X在點A的左邊、X在AB之間、X在點A的右邊三種情況討論，就可解決問題；
（3）設(shè)3、6、x在數(shù)軸上所對應(yīng)的點分別為A、B、X，則|x-3|+|x-6|=AX+BX，AB=|6-3|=3．借鑒（2）中的經(jīng)驗可得AX+BX≥AB，即|x-3|+|x-6|≥3，當(dāng)X在A、B之間時取等號．

解答 解：（1）|4-（-2）|=|4+2|=6，
故答案為6；

（2）設(shè)-2、4、x在數(shù)軸上所對應(yīng)的點分別為A、B、X，
則|x-4|+|x+2|=BX+AX=8，AB=|4-（-2）|=6．
①X在點A的左邊時，AX+AB+AX=2AX+6=8，
∴AX=1，∴X所對應(yīng)的數(shù)是-2-1=-3；
②當(dāng)X在點A、B之間時，BX+AX=AB=8，與AB=6矛盾；
③X在點A的右邊時，AB+BX+BX=6+2BX=8，
∴BX=1，∴X所對應(yīng)的數(shù)是4+1=5．
綜上所述：符合條件的整數(shù)x為-3或5；

（3）對于任何有理數(shù)x，|x-3|+|x-6|有最小值，最小值為3．
提示：設(shè)3、6、x在數(shù)軸上所對應(yīng)的點分別為A、B、X，
則|x-3|+|x-6|=AX+BX，AB=|6-3|=3．
∵AX+BX≥AB，
∴|x-3|+|x-6|≥3，當(dāng)X在A、B之間時取等號．

點評 本題考查的是絕對值的概念、幾何意義、數(shù)軸等知識，在解決問題的過程中用到了分類討論及數(shù)形結(jié)合的思想，是解決本題的關(guān)鍵．